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Olá,Jessica !

Temos que o ponto P é igual a P(-3,2)

O segmento PO será (x,y)

O ponto médio é M(5,4)

para determinar o ponto médio,usamos o par ordenado:

(x1+x2/2,y1+y2/2)

assim,temos:

para a coordenada x:

(-3+x)/2=5

(-3+x)=5.2

-3+x=10

x=10+3

x=13

-----------------------

para a coordenada y:

(y1+y2)/2

(2+y)/2=4

2+y=4.2

2+y=8

y=8-2

y=6

Logo,as coordenadas de O são o ponto O(13,6)

==================

Para a outra questão:

Sabendo que P(2m + 1, -3m -4) pertence ao terceiro quadrante,determine os valores reais de ''m''.

Se o ponto pertence ao terceiro quadrante,a abscissa é negativa e as oordenadas são negativas também.Ou seja,elas tem que ser menor que zero.Portanto,temos:

2m+1 < 0

2m < -1 << dividindo tudo por 2:

2m/2 < -1/2

m < -1/2

=============

y=

-3m-4 <0

-3m < 4

dividindo tudo por -3,teremos que inverter o sinal:

-3m/-3 > 4/-3

m > -4/3

Logo,os valores de m são todos os valores do intervalo:

-4/3 < m < -1/2

===============

Até.

P(-3,2)

M(5,4)

O(x,y)

xm = (xo + xp)/2

5 = (-3+x)/2

5 . 2 = (-3+x)

-3 + x = 10

x = 10 + 3

x = 13

E

ym = (yp + yo)/2

4 = (2+y)/2

4.2 = (2+y)

2+y = 4.2

2 + y = 8

y = 8 - 2

y = 6

Assim as coordenadas de O é o ponto O(13,6)

2) P(2m + 1, -3m -4) pertence ao terceiro quadrante,temos: 2m + 1 < 0 e 3m - 4 < 0

2m+1 < 0

2m < -1

m < -1/2

3m-4 < 0

-3m < 4 (-1)

3m > -4

m > -4/3

Logo,os valores de m são todos os valores do intervalo:

-1/2 > m > -4/3

P----------------M-------------------O

(x,y)------------(5,4)------------(-3,2)

5=(x-3)/2

10=x-3

10+3=x

x=13

4=(y+2)/2

8=y+2

8-2=y

y=6

P(13,6)

a)

P(-3,2) e O(x,y)

[(-3+x)/2 , (2+y)/2]=(5,4)

(-3+x)/2 =5 ==>-3+x=10 ==>x=13

(2+y)/2=4 ==>2+y=8 ==>y=6

b)

P(2m+1 , -3m-4)

1ª Quadrante

x>0 e y>0

2ªQuadrante

x<0

y>0

3ª Quadrante

x<0

y<0

4ª Quadrante

x>0

y<0

P(2m+1 , -3m-4)

2m+1<0 ===>m<-1/2

-3m-4 <0 =>-3m<4

=>-m<4/3 ==>m>-4/3

-4/3 < m <-1/2 é a resposta

***Observe

multipliquei por (-1), o sinal

era < ficou >....

P(-3,2)

O(x,y)

M(5,4)

Mx = (Px + Ox)/2

Mx = (-3 + Ox)/2 = 5

-3 + Ox = 10

Ox = 13

My = (Py + Oy)/2

My = (2 + Oy)/2 = 4

2 + Oy = 8

Oy = 6

O(13,6)

--------------------------------------

Sabendo que P(2m + 1, -3m -4) pertence ao 3ö quadrante

2m + 1 < 0

2m < -1

m < -1/2

-3m - 4 < 0

-3m < 4

m > -4/3

-4/3 < m < -1/2

pronto