Hola

Supongo

(1 + x) dy/dx - x y = x + x^2

(1 + x) dy/dx - x y = x (1 + x)

Dividimos todo por (1 + x)

dy/dx - (x/(x + 1)) y = x

El factor integrante resulta

U(x) = e^( ʃ -xdx/(x+1))

U(x) = e^( ʃ (-x-1+1)dx/(x+1))

U(x) = e^( ʃ (-1)dx + ʃ dx/(x+1))

U(x) = e^( (-1) x) + ln(x + 1))

U(x) = (x + 1) e^(-x)

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Observemos que

U'(x) = (-x/(x + 1)) U(x) = (-x) e^(-x)

Entonces

dy/dx - (x/(x + 1)) y = x

se transforma en

(x + 1) e^(-x) y' - x e^(-x) y = x (x + 1) e^(-x)

U(x) y' + U'(x) y = x^2 e^(-x) + x e^(-x)

En diferenciales

U dy + (dU) y = x^2 e^(-x) dx + x e^(-x) dx

d( U y ) = x^2 e^(-x) dx + x e^(-x) dx

d( (x + 1) e^(-x) y ) = x^2 e^(-x) dx + x e^(-x) dx

que es inmediatamente integrable

(x + 1) e^(-x) y = (-x^2 - 2 x - 2) e^(-x) + (-x - 1) e^(-x) + K

(x + 1) e^(-x) y = (-x^2 - 3 x - 3) e^(-x) + K

y = -(x^2 + 3 x + 3)/(x + 1) + K e^x /(x + 1)

y = -(x^2 + 2 x + 1 + x + 1 + 1)/(x + 1) + K e^x /(x + 1)

y = -(x + 1) - 1 - (1/(x + 1)) + K e^x /(x + 1)

y = -(x + 2) - (1/(x + 1)) + K e^x /(x + 1)

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