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Hola

x^2 (1 + y^3) dx = - y^2 (1 + x^3) dy

separamos variables

x^2 dx /(1 + x^3) = - y^2 dy / (1 + y^3)

u = 1 + x^3

v = 1 + y^3

du = 3 x^2 dx -> x^2 dx = (1/3) du

dv = 3 y^2 dy -> y^2 dy = (1/3) dv

Queda

(1/3) du/u = - (1/3) dv/v

d(ln(u)) = - d(ln(v))

d(ln(u) + ln(v)) = 0

d (ln(u*v)) = 0

ln(u*v) = cte

u*v = k

(1 + x^3)(1 + y^3) = k

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realizaras la derivada implícita de la variable respectiva ( es la derivada normal de la variable indicada, dx ó dy, y la derivada normal pero indicada de la otra variable [x' ó y'´])

En base a : x²(1+y³)dx+y²(1+x³)dy =0 en la primera (x²(1+y³)dx) aplicamos la derivada de la multiplicación , derivamos normalmente "x" y derivamos implícitamente "y" y en la segunda (y²(1+x³)dy=0) todo lo contrario

x²(1+y³)dx+y²(1+x³)dy =0-->x²(3y²y')+(1+y³)(2x)+y²(3x²x')+(1+x³)(2y)=0 como presentamos ambas derivadas implícitas, despejamos la x' ó y' en base a quien se deriva, si es dx despejamos y' y si es dy despejamos x'

en base a dx:

x²(3y²y')+(1+y³)(2x)+y²(3x²x')+(1+x³)(2y)=0-->3x²y²y'=.-(1+y³)(2x)-y²(3x²x')-(1+x³)(2y)-->

......-2x-2xy³-3x²x'y²-2y-2x²y

y'=.--------------------------------

.................3x²y²

y si es en base a dy, despejamos x'