Hola

Para el primer límite no hace falta,

hay que aplicar propiedades trigonométricas

tan((pi/2) + x) = -cot(x) = -cos(x)/sen(x)

x tan((pi/2) + x) = (-cos(x))(x/sen(x))

x tan((pi/2) + x) - e^x = (-cos(x))(x/sen(x)) - e^x

Lim x tan((pi/2) + x) - e^x = Lim (-cos(x))(x/sen(x)) - e^x

..x->0................................x->0

Lim x tan((pi/2) + x) - e^x = (-1)*1 - 1 = -2

..x->0

Como el divisor tiende a 0, el límite tiende a -inf

Segundo límite.

Previamente a L'Hôpital, tomamos logaritmos

L = Lim y = Lim (1 - 2 x)^(1/x)

......x->0......x->0

Aprovechamos que ln(x) es función continua

ln(L) = Lim ln(y) = Lim ln(1 - 2x)/x

...........x->0........,.x->0

Aplicamos L'Hôpital

ln(L) = Lim ln(y) = Lim [(-2)/(1 - 2x)] / [1]

...........x->0........,.x->0

concluímos que

ln(L) = -2

L = e^(-2)

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Saludos