¿Ayuda con ejercicio de funcion a trozos por favor tengo examen!!?
Dada la siguiente funcion a trozos:
F(x) = x^2 +2 si x<1
5 + 2x si x≥1 .
1). Halle si existe f´(1) empleando la defincion de derivada en un punto.
2). Determine si es posible las ecuaciones de la recta tangente y normal a la grafica en el punto Xsubcero = 0
3) . Es posible trazar la recta tangente a la grafica por el punto de absisa x=1?. Justifique la respuesta.
A quien me lo pueda resolver muchas gracias!
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Hola
f(x)
x < 1
y = x^2 + 2
x >= 1
y = 2 x + 5
Hay un salto de
(2 (1) + 5) - ((1^2) + 2) = 7 - 3 = 4
en x = 1
La derivada también es por trozos,
estudiándose en forma especial
la parte discontinua en x = 1
f'(x)
x < 1
y = 2 x
x > 1
y = 2
Interesante problema...
Parece que existe la derivada en x = 1 pero....
1)
Consideramos acercamiento por izquierda
f(1) = 2*1 + 5 = 7
f(1 - h) = (1 - h)^2 + 2
Incremento de función
f(1) - f(1 - h) = 7 - ((h + 1)^2 + 2)
f(1) - f(1 - h) = 7 - (h^2 + 2 h + 1 + 2)
f(1) - f(1 - h) = 4 - h^2 - 2 h
Cociente incremental (por izquierda)
(f(1) - f(1 - h))/h = (4 - h^2 - 2 h)/h
Como vemos, NO EXISTE
el LÍMITE del cociente incremental cuando h-> 0
La culpa es del salto de 4 que hace la función en x = 1
Por consiguiente NO EXISTE
la derivada en x = 1
a pesar de que la función derivada
tiene iguales valores a derecha e izquierda de x=1
(Casi sigo de largo...)
2)
en x = 0 no hay problema
ya que la función es continua en un entorno de x = 0
f(0) = 2
f'(0) = 0
3)
No, no es posible
porque NO EXISTE derivada en x = 1
A ambos lados de x = 1
tenemos límites de rectas tangentes distintos
A izquierda de x = 1, la recta tangente tiende a
y - 3 = 2 (x - 1)
y = 2 x + 1
A derecha de x = 1, la recta tangente tiende a
y - 7 = 2 (x - 1)
y = 2 x - 5
(coincide con la función)
Como dije, siempre se aprende en este foro,
de ambos lados.
Saludos