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si (x,y) es punto de la parabola , la distancia al punto es

D2 = (x-2)2+(y-1)2

Debemos hallar dD/dx =0 , derivando implicito

2D dD/dx = 2(x-2) +2 (y-1) dy/dx =0

O sea , se debe cumplir que (y-1) dy/dx = -(x-2)

dy/dx = -(x-2) / (y-1)

tomando la funcion , y2= 4x y derivando implicito , 2ydy/dx = 4

dy/dx = 2/y

Igualando , -(x-2) / (y-1) =2/y

-(x-2) = 2(y-1) /y

x=2 -2(y-1)/y

Reemplazando

y2 = 4 (2 -2(y-1)/y)

y3 = 8y-8y+8

y3 =8

y=2 , x= 1

O sea es el punto (1,2) y ahora se debe probar k d2D/dx2 >0 para k sea minimo

D dD/dx = (x-2) + (y-1) dy/dx derivando implicito ,

D d2D/dx2 + dD/dx dD/dx = 1 +(y-1) d2y/dx2 +dy/dx

D d2D/dx2 + (dD/dx)2 = 1 +(y-1) d2y/dx2 +dy/dx

d2D/dx2 =(1/D) ( - (dD/dx)2 + 1 +(y-1) d2y/dx2 +dy/dx )

dy/dx =2/y

d2y/dx2 = -2/y2

dD/dx = (1/D) ((x-2) + (y-1) dy/dx )

para P( 1,2) ,

dy/dx= 1

d2y/dx2= -1/2

D>0 siempre ,

dD/dx = (1/D ) (-1+1*1) =0

Asi , d2D/dx2 = (1/D) ( 1 +1*(-1/2) +1) ) = 3/2D >0 , luego P (1,2 ) es aquel que produce la distancia minima al punto (2,1)

Hay una forma mas corta , considerando k la distancia minima desde un punto a la parabola es una linea perpendicular . dy/dx = 2/y para un punto de la parabola (xo,yo) , dy/dx = 2/yo

la linea perpendicular tiene pendiente m= -yo/2 , luego la linea es

y-1 = (-yo/2) (x-2) porque pasa por (2,1)

la linea tambien pasa por (xo,yo ) , luego yo-1= (-yo/2) (xo-2)

la parabola tambien pasa por (xo,yo), yo2=4xo , reemplaza

yo-1 = (-yo/2) ( yo2/4 -2)

2yo-2 = -yo3 /4 +2yo

yo3=8 , luego yo=2 , xo= 1 y el punto de la parabola que produce la distancia minima al punto (2,1) es P (1,2) al igual k antes

Hola

Usando Lagrangianos

debemos hallar el mínimo de

(x - 2)^2 + (y - 1)^2

con la restricción

y^2 = 4 x

Construímos la función lagrangiana

F(x,y,λ) = (x - 2)^2 + (y - 1)^2 + λ(y^2 - 4 x)

Derivamos y anulamos las derivadas

1) ∂f/∂x = 2 (x - 2) + λ( -4) = 0

ó

1) ∂f/∂x = (x - 2) - 2 λ = 0

2) ∂f/∂y = 2 (y - 1) + λ(2 y) = 0

ó

2) ∂f/∂y = (y - 1) + λ y = 0

3) ∂f/∂λ = y^2 - 4 x = 0

De 1)

λ = (x - 2)/2

De 2)

λ = (-y + 1)/y

deducimos

(x - 2)/2 = (-y + 1)/y

x y - 2 y = -2 y + 2

x y = 2

x = 2/y

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En 3)

y^2 - 4 (2/y) = 0

y^2 = 8/y

y^3 = 8

y = 2

Entonces, el punto de la curva

y^2 = 4 x

a menor distancia de

x = 2 ; y = 1

es

x = 1 ; y = 2

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