Verified answer

A1：

STEP1：因為v1,v2,v3,v4是V的一組基底(basis),所以v1,v2,v3,v4四個向量線性獨立(linear independent),而且V的維度(dimension)是4

STEP2：由定義(By def),這表示(c1*v1)+(c2*v2)+(c3*v3)+(c4*v4)=0這個方程式中的未知數c1,c2,c3,c4有唯一解,那就是c1=c2=c3=c4=0

STEP3：現在考慮d1*(v1+v2)+d2*(v2+v3)+d3*(v3+v4)+d4*v4=0中d1,d2,d3,d4的解

先展開並整理(d1*v1)+[(d1+d2)*v2]+[(d2+d3)*v3]+[(d3+d4)*v4]=0

並由STEP2知道有唯一解d1=d1+d2=d2+d3=d3+d4=0

(註：如果不太懂,可以將d1,d1+d2,d2+d3,d3+d4重新用其他代數e1,e2,e3,e4來代替,此時e1,e2,e3,e4的位置就跟c1,c2,c3,c4一樣了,也就是說d1,d1+d2,d2+d3,d3+d4的位置和c1,c2,c3,c4一樣)

所以

d1=0

d1+d2=0表示d2=0(代入消去法)

d2+d3=0表示d3=0

d3+d4=0表示d4=0

所以也就是說d1*(v1+v2)+d2*(v2+v3)+d3*(v3+v4)+d4*v4=0有唯一解d1=d2=d3=d4=0,因此v1 + v2,v2 + v3,v3 + v4,v4四個向量線性獨立

又由STEP1知道V的維度是四,所以這四個線性獨立的向量就是V的一組基底

A2：

Exist two vectors in U ∩ W such that neither of these vectors is a scalar multiple of the other.

也就是說要證明U ∩ W裡有至少兩個向量v1,v2,無法用v1=cv2的關係是連結起來,其中c是不為零的實數

也就是說U ∩ W裡有至少兩個向量v1,v2彼此是線性獨立的

在已知U ∩ W也是子空間的前提之下(這個應該不用在這裡證明吧),也就是要證明U ∩ W的維度大於等於二

接著我用反證法

STEP1：假設U ∩ W的維度小於2,亦即U ∩ W的維度是1或0

STEP2：考慮維度是1的狀況,因為U ∩ W的維度是1,所以假設U和W的基底分別為u1,u2,u3,v1和w1,w2,w3,v1且v1是U ∩ W的基底

STEP2-1：其中v1和另外六個向量皆線性獨立為已知,否則他們無法形成U或W基底

STEP2-2：接著w1,w2,w3互相線性獨立(以下簡稱l.i.),u1,u2,u3也互相l.i.,原因同上,否則無法形成基底

STEP2-3：最後若w1,w2,w3中的任何一個向量和u1,u2,u3中的某個向量為線性相依的話,例如w2和u3線性相依,即w2=c*u3,c是不為零的實數,這樣就表示有一個向量和v1線性獨立且屬於U ∩ W,這樣U ∩ W的維度就會大於1,和假設不合,所以w1,w2,w3中的任何一個向量和u1,u2,u3中所有向量也都是線性獨立的

STEP2-4：所以由2-1,2-2,2-3得出u1,u2,u3,v1,w1,w2,w3這七個向量互相線性獨立且都在維度是6的 C^6裡面

就代表這我們在維度是6的空間裡找出7個(u1,u2,u3,v1,w1,w2,w3)線性獨立的向量,所以矛盾,因此U ∩ W的維度不等於1

STEP3：考慮U ∩ W維度是0的狀況,由同樣的步驟我們會得出我們在維度是6的空間裡找出8個線性獨立的向量,所以矛盾,因此U ∩ W的維度不等於0

STEP4：因此若假設U ∩ W的維度小於2,會得出矛盾,所以U ∩ W的維度大於等於二,也就是說U ∩ W裡有至少兩個向量v1,v2彼此是線性獨立的,也就是說U ∩ W裡有至少兩個向量v1,v2,無法用v1=cv2的關係是連結起來(Exist two vectors in U ∩ W such that neither of these vectors is a scalar multiple of the other.)

1. basis def.: 最小生成集+最大獨立集

何謂獨立: a1v1 + a2v2 +a3v3 + a4v4 =0 只有當a1=a2=a3=a4=才會獨立

所以很直覺的你可以把v1代換成v1+v2; v2,v3,v4代換以此類推, 只是ai純量改變而已

2.翻翻課本都可以找的到詳細證明.

subspace交集必也包含再原subspace

Note.subspace聯集除非互包, 才會再原subspace

2015-02-21 10:56:08 補充：

1. 何謂獨立: a1v1 + a2v2 +a3v3 + a4v4 =0 只有當a1=a2=a3=a4=0才會成立