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1. (未完全解決, 內詳)

The Axiom of Completeness 說:

若 S 是 R 的一個上方有界子集, 則 S 存在最小上界.

The Nested Interval Property 說:

若 J1, J2,..., Jn,... 是一個 sequence of nested closed

intervals, 即 J1 包含 J2, J2 包含 J3, 以此類推. 又若 Jn

之長度 Ln 收斂到 0, 則存在唯一一點 p 在每個 Jn 中.

設 B = {b in R: b is an upper bound of S}, 則 B 是一個

閉區間.

因, 設 a, b in B, 則

　for all x in S, x≦a 且 x≦b.

故對任意 c 介於 a, b 之間, 當然也滿足

　for all x in S, x≦c. 即 c 在 B 中.

設 b{n} 是 B 中一個序列, 收斂到 b*, 則

　b{n}≧x for all x in S

因此, 當然也有

　b*≧x for all x in S.

即: b* 也在 B 中.

令 J1 = {b in B: b≦M}. M 是任意固定實數. 則 J1 是一個

有界閉區間, 即: J1 有有限長度.

要由 NIP 證明 AoC, 一個想法是由 J1 構造出 nested intervals

J1, J2,...,Jn,... 其形式為 Jn = {b in B: b≦Mn}, 而 Jn

的長度收斂至 0. 而後根據 NIP 得知有唯一的 b0 在所有 Jn

中, 因此 b0 是 S 的一個上界. 然而若有 b1 也是 S 的上界

但比 b0 小, 則 b1 也在 all Jn 中, 這違反了 Jn 長度收斂

至 0 的要求. 因此, b0 是 S 的最小上界, AoC 得證.

以上留下一個問題我未能有效解決的, 就是在不明列 J1 的具

體形式 J1 = {b: b0≦b≦M} 的情況下, 如何構造 J2, J3 ...

這個 nested intervals 序列?

2.

A = {x in Q: x^2≦5}

當然 x^2≦5 implies x≦5, 因此 A 是 bounded above.

設 b in Q 且 b 是 A 的一個上界, 則顯然 b>0 且 b^2>5.

取 b' = (b+5/b)/2, 因 b in Q 所以 b' 也 in Q.

則由算幾不等式, b'> √{b(5/b)}=√5, 因此 b'^2 > 5.

又: b'-b = (5/b-b)/2 = (5-b^2)/(2b) < 0.

所以 b' 是比 b 還小的一個 A 的上界.

因此, 在 Q 中, A 沒有最小上界.

2013-09-13 10:26:28 補充：

1. (換個方式證明)

設 S 為 R 之一上方有界子集, B 為 S 之上界所形成的集合.

在 S 中取一點 a, 在 B 中取一點 b, 令 J1 = [a,b]

取 c = (a+b)/2.

若 c 在 B 中, 令 J2=[a,c]; 若 c 不在 B 中, 取 J2=[c,b].

把 J2 當成如 J1 那樣, 仿建構 J2 的方法建構 J3.

以此類推, 建構出 nested intervals 序列 J1, J2, J3,...,Jn,...

則依 the Nested Intervals Property, 存在唯一 b* 在所有 Jn 中.

2013-09-13 10:26:49 補充：

令 Jn = [a(n),b(n)], 則 a(n)≦b*≦b(n).

因 b(n)-a(n)→0, 故 b(n)-b*→0, 故 b(n)→b*.

由於 B 是閉集合, 所以 b* 在 B 中.

又, 假設 B 中存在 b** 小於 b* 而仍在 B 中.

因 a≦a(n)≦b*≦b(n), 所以存在 N 使得 a(N)>b**.

但 a(N) 不在 B 中, 故 b** 亦不可能在 B 中, 矛盾.

所以 B 中元素以 b* 為最小, 即 S 之最小上界為 b*.

The Completeness Axiom 得證.

2013-09-13 20:55:17 補充：

2. 是要說沒有 maximum, 不是說在 Q 沒有最小上界.

設 x in A, 所以 x 是有理數, 且 x^2 < 5.

取 x' = 2/(1/x + x/5), 即 x 與 5/x 的調和平均,

或說 1/x' 是 1/x 與 x/5 的算術平均.

則由算幾不等式得 x' < √5, 即 x'^2 < 5.

又: x' - x = (1-x^2/5)/(1/x+x/5) > 0.

(只是來把上面的回答重新整理一下.)

1.

The Axiom of Completeness 說:

若 S 是 R 的一個上方有界子集, 則 S 存在最小上界.

The Nested Interval Property 說:

若 J1, J2,..., Jn,... 是一個 sequence of nested closed

intervals, 即 J1 包含 J2, J2 包含 J3, 以此類推. 又若 Jn

之長度 Ln 收斂到 0, 則存在唯一一點 p 在每個 Jn 中.

設 B = {b in R: b is an upper bound of S}, 則 B 是一個

閉區間.

因, 設 a, b in B, 則

　for all x in S, x≦a 且 x≦b.

故對任意 c 介於 a, b 之間, 當然也滿足

　for all x in S, x≦c. 即 c 在 B 中.

設 b{n} 是 B 中一個序列, 收斂到 b*, 則

　b{n}≧x for all x in S

因此, 當然也有

　b*≧x for all x in S.

即: b* 也在 B 中.

欲由 the Nested Interval Property 證明 the Axiom of Completeness,

進行如下:

在 S 中取一點 a, 在 B 中取一點 b, 令 J1 = [a,b]

取 c = (a+b)/2.

若 c 在 B 中, 令 J2=[a,c]; 若 c 不在 B 中, 取 J2=[c,b].

把 J2 當成如 J1 那樣, 仿建構 J2 的方法建構 J3.

以此類推, 建構出 nested intervals 序列 J1, J2, J3,...,Jn,...

則依 the Nested Intervals Property, 存在唯一 b* 在所有 Jn 中.

令 Jn = [a(n),b(n)], 則 a(n)≦b*≦b(n).

因 b(n)-a(n)→0, 故 b(n)-b*→0, 故 b(n)→b*.

由於 B 是閉集合, 所以 b* 在 B 中.

又, 假設 B 中存在 b** 小於 b* 而仍在 B 中.

因 a≦a(n)≦b*≦b(n), 所以存在 N 使得 a(N)>b**.

但 a(N) 不在 B 中, 故 b** 亦不可能在 B 中, 矛盾.

所以 B 中元素以 b* 為最小, 即 S 之最小上界為 b*.

The Completeness Axiom 得證.

2.

A = {x in Q: x^2≦5}

當然 x^2≦5 implies x≦5, 因此 A 是 bounded above.

設 x in A, 所以 x 是有理數, 且 x^2 < 5.

取 x' = 2/(1/x + x/5), 即 x 與 5/x 的調和平均,

或說 1/x' 是 1/x 與 x/5 的算術平均.

則由算幾不等式得 x' < √5, 即 x'^2 < 5.

也就是說, 給予 A 中任一元素 x, 都能在 A 中找到 x'

比 x 大. 因此, A 中沒有最大值.

(題外: A 在 Q 中沒有最小上界, 在 R 中才有)

設 b in Q 且 b 是 A 的一個上界, 則顯然 b>0 且 b^2>5.

取 b' = (b+5/b)/2, 因 b in Q 所以 b' 也 in Q.

則由算幾不等式, b'> √{b(5/b)}=√5, 因此 b'^2 > 5.

又: b'-b = (5/b-b)/2 = (5-b^2)/(2b) < 0.

所以 b' 是比 b 還小的一個 A 的上界.

因此, 在 Q 中, A 沒有最小上界.

第二題的想法：

取x=a/b

設5a^2-b^2=1 發現a可以取很大

然後

5^0.5-a/b<(5-a^2/b^b)/4=1/(4*a^2)<1/a

因此a/b可以無限逼近5^0.5

2013-09-11 21:54:08 補充：

補注：5a^2-b^2=1為第二型PELL方程，因為有一解，所以有無限多組解