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先證明

| u1 u2 u3 |

u‧(v x w) = | v1 v2 v3 |

| w1 w2 w3 |

因為將行列式第二列與第三列換然後第二列與第一列換得到原式

| w1 w2 w3 |

= | u1 u2 u3 | = w‧(u x v) = (u x v)‧w

| v1 v2 v3 |

所以我們只要證明紅色部分成立即可

u‧(v x w) = u‧( | v2 v3 | i - | v1 v3 | j + |v1 v2| k )

|w2 w3| | w1 w3| |w1 w2|

= u1 | v2 v3 | - u2 | v1 v3 | + u3 |v1 v2|

|w2 w3| | w1 w3| |w1 w2|

| u1 u2 u3 |

= | v1 v2 v3 |

| w1 w2 w3 |