teorema di cantor--> Per ogni insieme A, non vi è biiezione tra A e p(A)?
Sia f:A-> p(A) una funzione. considerando l'insieme : D = ( x appartenente A tale che x è diverso da f(x)). e supponendo che esista d appartenente ad A tale che D = f (d). Vale d appartenente D oppure d non appartenente D? derivare una contraddizione in entrambi i casi, concludendo che f non può essere suriettiva, quindi nemmeno biiettiva.
More Questions From This User See All
Answers & Comments
Verified answer
Ciao, intanto credo ci sia qualcosina da modificare in quello che hai scritto. Se f va da A a P(A) allora per ogni a in A f(a) deve essere un sottoinsieme di A. Perciò credo che D sia da definire come
D = {a € A / a non appartiene ad f(a)}.
A questo punto fai la supposizione che esista un d in A tale che D = f(d) (che se f fosse biunivoca dovrebbe necessariamente esistere). Fatto ciò ti chiedi: dove sta d? Hai due possibilità, o sta in D oppure non sta in D.
Se d appartenesse a D allora dovresti avere (per definizione di D) che d non appartiene a f(d). Ma f(d) = D, da cui la contraddizione in questo caso.
Se invece d non appartenesse a D allora (sempre dalla definizione di D) dovresti avere che d appartiene a f(d). Ma f(d) = D, quindi d € D e perciò d non dovrebbe appartenere a f(d), che ancora porta ad una contraddizione.
Questo comporta che non può esistere in A un d siffatto, quindi D (come elemento di P(A)) non ha controimmagine e perciò f non può essere suriettiva e quindi nemmeno biunivoca.
Come ragionamento è molto simile a quello del paradosso di Russell.
Spero di esserti stato d'aiuto. Nel caso non ti fare problemi a contattarmi. Ciao!