¿Me pueden ayudar con este problema de Calculo Diferenial?
Suponemos que en un estadio se realiza un evento semanal. En la actualidad, la venta de boletos a $20 dólares atrae un promedio de 3000 personas. Si los precios se elevaran o se redujeran en $1 dólar, la asistencia promedio disminuiría o aumentaría, respectivamente, en 100.
a) Si x representa el aumento en el precio del boleto, determinar los límites naturales para x.
b) Obtener el ingreso r ( x ) proveniente del aumento de x en el precio.
c) Hallar el precio del boleto que maximizará el ingreso.
d) Considerar que cada aficionado gasta un promedio de $4 en lo que se expende allí.
Determinar el precio óptimo del boleto al agregar esta información.
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Hola
y : cantidad personas
x : precio del boleto
xo = 20 ; yo = 3000
Aproximamos el incremento ó decremento
de la cantidad de personas
cuando el precio aumenta 1 unidad,
a la derivada de la función
de la cantidad de personas con respecto al precio
dr/dx = -100
b)
dr = -100 dx
integramos
r - ro = -100 (x - xo)
r = ro - 100 (x - xo)
Con los datos
r = 3000 - 100 (x - 20)
a)
Por ser un precio
xmin > 0
rmax = 3000 - 100*(-20) = 3000 + 2000 = 5000
r > 0
100 (x - 20) < 3000
x - 20 < 30
xmax < 50
Entonces
0 < x < 50
lo que lleva a
0 < r < 5000
c)
I = precio_boleto * cantidad_personas
I = x (3000 - 100 * (x - 20))
I = x (3000 - 100 x + 2000)
I = x (5000 - 100 x )
I = 5000 x - 100 x^2
Para establecer el máximo,
derivamos y anulamos la derivada
dI/dx = 5000 - 200 x = 0
xMax = 5000/200
xMax = 25
*************
d)
Cambia
I = precio_boleto * cantidad_personas
I = x (5000 - 100 x )
por
I = (precio_boleto + precio_consumo) * cantidad_personas
I = (x + 4) (5000 - 100 x )
I = 5000 x - 100 x^2 + 4*5000 - 400 x
I = -100 x^2 + 4600 x - 20000
dI/dx = -200 x + 4600 = 0
xMax = 23
*****************
T_T
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