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2x=3(mod5)-->x=4(mod5)

2x除以5餘3 則x除以5只可能餘4

同理

4x=2(mod6)---> x=2(mod6) or x=5(mod6)

3x=2(mod7)--> x=3(mod7)

所以x除以5,6,7的餘數為4,2,3或4,5,3

x=[5,6,7]p+[6,7]q+7r+3

=210p+42q+7r+3~除以6餘2,r=5

=210p+42q+38~除以5餘4

=210p+164

另外

x=[5,6,7]p+[6,7]q+7r+3~除以6餘5

=210p+42q+17~除以5餘4

=210p+59

所以可能的餘數為164與59

先把三個式子的x的係數皆化為1

2x≡3 (mod 5)

→2x≡3+5≡8(mod 5)

→兩邊同除以2，x≡4(mod 5)

4x≡2 (mod 6)

→兩邊同除以2(模數也要一起除)，2x≡1(mod 3)

→2x≡1+3≡4(mod 3)

→兩邊同除以2，x≡2(mod 3)

3x≡2(mod 7)

→3x≡2+7≡9(mod 7)

→兩邊同除以3，x≡3(mod 7)

所以x除以5, 3, 7，餘數分別為4, 2, 3

x除以5與3，皆不足1，所以x是(3與5的公倍數減1)

15*1-1=14，但14除以7餘0，不合

15*2-1=29，但29除以7餘1，不合

15*3-1=44，但44除以7餘2，不合

15*4-1=59，59除以7餘3，符合

所以x=3與5與7的公倍數+59=105k+59

k為偶數時，x=105(2m)+59=210m+59

k為奇數時，x=105(2n+1)+59=210n+105+59=210n+164

所以x除以210的餘數是59或164

2011-04-06 12:40:21 補充：

難怪題目說the two inconGruent solutions

通常這種題目不會告訴你解是否唯一，所以它告訴我有2解時，我反而看不懂題目了。

could you give me more detail? because i just learning it.

http://tw.myblog.yahoo.com/sincos-heart/article?mi...