¿Ecuaciones diferenciales buenos dias, queria pedir su ayuda para solucionar estos ejercicios?
agradeceria mucho a quien pudiera colaborarme y explicarme como lo soluciono.
7. y2dy = x(xdy - ydx)ex/y (homogeneas)
15. (1 + lnx + (x/y))dx = (1 - lnx)dy (exactas)
3. A un circuito en serie en el cual la resistencia es de 1000 ohmios y la capacitancia
es de 5 x 10-6 Faradios, se le aplica una tensión de 200 voltios. Encuentre la carga
q(t) en el capacitor si i(0) = 0.4. Determinar la carga y la corriente para t = 0.005 segundos y la carga cuando t tiende a infinito.
pdt : en cada uno esta el metodo por el que debe ser solucionado.
muchas gracias
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Hola
"pdt" Mejor PS
7) y^2 dy = x (x dy - y dx) e^(x/y)
u = y/x
du = (ydx - x dy)/x^2
y = u dx
dy = u dx + x du
7) y^2(u dx + x du) = x x^2 (-du) e^(1/u)
u^2 (u dx + x du) = - x du e^(1/u)
u^3 dx + x u^2 du = - x du e^(1/u)
u^3 dx = - x (u^2 + e^(1/u)) du
dx/x = -(du/u) + (e^(1/u) du/u^3)
1/u = v
du /u^2 = -dv
(e^(1/u) du/u^3) = -v e^v dv = d((-v+1)e^v)= d(-(1/u) + 1)e^(1/u))
queda
d(ln(x)) + d(ln(u)) + d( ((1/u) - 1) e^(1/u) ) = 0
ln(x u) + ((1/u) - 1) e^(1/u) = K
ln(y) + ((x/y) - 1)e^(x/y) = K
*********************************
15)
(1 + ln(x) + (x/y)) dx = (1 - ln(x)) dy
(1 + ln(x) + (x/y)) dx - (1 - ln(x)) dy = 0
Factor integrante
P = 1 + ln(x) + (x/y)
Q = -1 + ln(x)
∂P/∂y = -x/y^2
∂Q/∂x = 1/x
∂P/∂y - ∂Q/∂x = x/y^2 + 1/x = (x^2 + y^2)/(x y^2)
La ecuación del factor integrante queda
(1/μ) ( Q ∂μ/∂x - P ∂μ/∂y) = ∂P/∂y - ∂Q/∂x
(1/μ) ( (-1 + ln(x)) ∂μ/∂x - (1 + ln(x) + (x/y)) ∂μ/∂y) =
= (x^2 + y^2)/(x y^2)
No veo solución sencilla...
3)
R dq/dt + (1/C) q = E
dq/dt + (1/(RC) q = E/R
RC = 1000 * 5 * 10^-6 = 0.005 s = 1/(200 (1/s))
E/R = 200 / 1000 = 0.2 A
queda
dq/dt + (200 1/s) q = 0.2 A
*******************************
Condiciones iniciales
Para i(0) = dq/dt(0)= 0.4 A
0.4 A + (200 (1/s)) qo = 0.2 A
(200 (1/s)) qo = -0.2 A
qo = -0.2 A * 0.005 s = - 0.001 C
Homogénea
dq/dt + 200 q = 0
qh = K e^(-200 t)
qh = K e^(-t/0.005s)
Particular
200 qp = 0.2
qp = 0.001 C
Total
q = qp + qh
q = (0.001 C) + K e^(-t/0.005s)
********************************************
para t = 0
q = (0.001 C) + K e^(-0/0.005s) = -0.001C
K = -0.002C
q = (0.001 C) - (0.002 C) e^(-t/0.005s)
********************************************
para
t = 0.005s
q = 0.001 - 0.002 * e^-1 = 0.00026 C
t -> inf
q = 0.001 C