Hola

SI es volumen y es tetraedro

no hay otra posibilidad que R^3 ...

La fórmula es la sexta parte de la fórmula del producto mixto

de 3 vectores que parten

desde el origen elegido A

(se pueden hacer otras 3 elecciones del origen)

La idea es que el producto vectorial

(C − A) × (D − A)

es un vector normal al plano

determinado por (C - A) , (D - A)

y con módulo igual al área del paralelogramo

con lados consecutivos (C - A) , (D - A)

Si a este vector

(C − A) × (D − A)

lo multiplicamos escalarmente por (B - A)

obtenemos el módulo del vector

por la proyección de (B - A)

sobre el vector normal al plano

determinado por (C - A) , (D - A)

Esta proyección representa la altura

del paralelepípiedo

determinado por (B - A) , (C - A) , (D - A)

así que nos queda Base por Altura

Vol_paralelep = (B − A) * ((C − A) × (D − A))

Se demuestra geométricamente

que todo paralelepípedo

se puede dividir en 6 tetraedros equivalentes entre sí

así que nos queda la fórmula dada...

Vol_tetraedro = (1/6) (B − A) * ((C − A) × (D − A))

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Es muy fácil:

1. Recuerda que para obtener el volumen de una pirámide (tetraedro a fin de cuentas), debes multiplicar la base por la altura y dividirlo por tres.

2. Para obtener la base necesitaríamos, a su vez, multiplicar uno de sus lados por su altura y dividirlo entre dos. Uno de esos lados puede ser el segmento AB, por o que restaríamos B de A (B – A), tomando en cuenta que el segmento es la diferencia entre un punto y otro. Después necesitaríamos la altura correspondiente, para ello buscaremos la diferencia entre el otro punto de la base (C) y cualquiera de los dos que ya tenemos (A o B). Para que funcionara adecuadamente el planteamiento necesitaría tratarse de un triángulo rectángulo, así la altura sería (C – A). Multiplicaremos siguiendo la fórmula (A = b x h / 2) nuestra diferencia (B – A) · (C – A) y lo dividiremos entre 2 [(B – A) · (C – A)] / 2.

3. Según la fórmula del punto 1 (V = b x h / 3), necesitamos por último la altura del tetraedro, pues ya tenemos la base. Suponiendo que el segmento (arista) DA es vertical, podríamos decir que la altura es igual a la diferencia entre D y A (D – A).

4. Ya tenemos que { [ (B – A) · (C – A) / 2 ] · (D – A) } / 3 = V

4.1 Puede convertirse en {[B – A) · ( C - A) / 2] · (D - A)} 1/3 = V

4.2 Si le ponemos un denominador a (D – A) tendría que ser un 1 para no cambiar el resultado, entonces se vuelve en una simple multiplicación de fracciones: [(B – A) · (C – A) / 2] · [(D – A) / 1] · 1/3 = V

4.3 Recuerda que las fracciones se multiplican de manera lineal, es decir, numeradores con numeradores y denominadores con denominadores: (B – A) · (C – A) · (D – A) · 1 = V

2 1 3

4.4 Se resume en (B – A) · (C – A) · (D – A) · 1/6 = V

Voilà.

Es una explicación complicada y larga, pero espero haberte podido ayudar aunque sea un poco. ¡Saludos!