¿Demostraciones de Conjunto Potencia para A=B ayuda?
Hola que tal, estoy revisando unos problemas para demostrar pero me encontre con 2 que realmente no les hallo como demostrar. Son los siguientes:
Si P (A ∪ B) = P (A) ∩ P (B) entonces A = B
Si P (A ∩ B) = P (A) ∪ P (B) entonces A = B
Gracias de antemano
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Hola
La notación parece la de probabilidad (no es)
Conjuntos potencia
Primer problema
Si P (A ∪ B) = P (A) ∩ P (B) entonces A = B
Supongamos
P (A ∪ B) = P (A) ∩ P (B)
Supongamos que
x ∈ A
entonces
x ∈ A U B
Entonces, por definición de conjunto potencia
el conjunto {x} está en P(A U B)
{x} ∈ P(A U B)
Como
P (A ∪ B) = P (A) ∩ P (B)
{x} ∈ P(A)
{x} ∈ P(B)
si {x} ∈ P(B)
necesariamente
x ∈ B
==========
Hemos deducido
Si se cumple
P (A ∪ B) = P (A) ∩ P (B)
entonces
Si x ∈ A -> x ∈ B
Por simetría, se puede deducir de la misma forma
Si x ∈ B -> x ∈ A
concluímos que
A = B
*************
Segundo problema
Si P (A ∩ B) = P (A) ∪ P (B) entonces A = B
Supongamos
P (A ∩ B) = P (A) U P (B)
Supongamos que
x ∈ A
entonces
{x} ∈ P(A)
Como
P (A ∩ B) = P (A) U P (B)
{x} ∈ P(A ∩ B)
Deducimos
x ∈ A ∩ B
necesariamente
x ∈ B
==========
Deducimos
Si se cumple
P (A ∩ B) = P (A) U P (B)
Si x ∈ A -> x ∈ B
De la misma manera, por simetría, se demuestra
Si x ∈ B -> x ∈ A
Entonces
A = B
***********
P.S.
Esto se basa en el teorema
SI x ∈ A <-> {x} ∈ P(A)
De izquierda a derecha,
se demuestra por definición
De derecha a izquierda,
se demuestra por el absurdo
Saludos
A ver _