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Pour démontrer que le rapport périmètre/ rayon de tout cercle est constant, il faut d’abord avoir démontré le théorème de Thalès.

Ce théorème sur les rapports de longueurs dans un triangle coupé par une droite parallèle à l'un des côtés, n’apparait que trois siècles après Thalès, dans le Livre VI (proposition 2) des Éléments d'Euclide. Sa démonstration n’est pas triviale. Elle repose sur la proportionnalité d'aires de triangles de même hauteur : http://mathadoc.sesamath.net/Documents/college/3em...

Une fois ce théorème démontré, la démonstration dont tu parles est plus rapide.

Tu peux assimiler le cercle au polygone régulier qui lui est inscrit en faisant tendre le nombre N de côtés de ce polygone vers l’infini. Le polygone étant régulier, tous les côtés ont la même longueur C. Le périmètre du polygone est donc égal à N C et celui du cercle à la limite de NC lorsque N tend vers l’infini. Lorsque tu modifies le rayon du cercle, le théorème de Thales permet d’affirmer que le côté du polygone inscrit est modifié dans la même proportion. Le rapport C/R est donc constant, tout comme NC/R et sa limite « Périmètre du cercle / rayon ».

On dit aujourd'hui que cette constante repose "tout simplement" sur la similitude géométrique de deux cercles de rayons différents. A l'époque d'Euclide, les notions de similitude et leur propriétés n'étaient pas du tout établies.

Valeur de pi :

C'est un contemporain d'Euclide, Archimède, qui a été le premier a proposer des valeurs approchées de la constante pi avec notamment l'encadrement suivant : 223/71 < pi < 22/7

Il a obtenu ces valeurs au moyen de polygones réguliers inscrits et circonscrits au cercle.

Puis, d'Archimède à Plouffe (pas pour la poussée hydrostatique, mais bien pour le calcul de pi !), que de chemin parcouru : http://www.pi314.net/ref/LE_NOMBRE_PI_TIPE_MPSI.pd...

On a du le remarquer dès que l'on a fabriqué des objets circulaires, on s'aperçoit vite que le diamètre est proportionnel au diamètre mesuré avec un compas.

Archimède est l'auteur de la plus ancienne démonstration connue, plus de 200 ans avant JC.

Il y a un bon article sur ce sujet dans wikipedia.

Je rebondi à la réponse d'Alexandre.

Je ne sais pas s'il y avait une démo formelle à l'époque, intuitivement on devait bien avoir constaté que la roue parcourait une distance proportionnelle à son diamètre.

Mais puisque tu parles du compas, le fait qu'un cercle peut toujours être parcouru par 6 cordes de longueur le rayon a dû aidé à s'en convaincre voire à démontrer la proportionnalité (sans connaître la valeur de 𝜋).

vois pas

   On va suppositoirer (on est ici dans le trou profond du Qr de YaHououououhouhou voire plus si affinités), qu'il s'agit du quotient de la circonférence (pas forcément atténuante) au diamètre, géomètre … ta langue a encore foiré sur ton clavier.

N'importe quel couyon

peut l'établir avec un crayon,

un fil et une règle graduée :

arrête de fantasmer, la mousmée ‼

        الحمد لله

 C'est comme la Terre plate, grâce en soit louée à obscurantisme catholique : dès l'antiquité au moins, on savait qu'elle était sphérique, ou au moins « ronde ». On en avait même estimé avec une bonne précision le diamètre..

La religion est l'antescience et la source de toutes les pires khonneries.

Loués en soient tous les « prophètes » et leurs sbires et sicaires.

        À propos : qui a inventé ou « démontré » le 1 ?

lol, le diamètre étant le double du rayon par définition, on n'a pas dû grave se casser le cul pour aboutir à ce résultat!

Ajout: Vous pouvez me mettre un PEB, ça n'y changera rien!!! Ce sont des définitions que l'on retrouve dans les Eléments d'Euclide 300 ans avant JC

je ne sais pas mais ça fait longtemps que l'on sait que le diamètre est le double du rayon

Le périmètre, c'est 2PiR!

2R = diamètre

Pi = 3,14116 donc constante!

Ben la définition même du rayon et du diamètre suffit...