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vamos la

V40 = 6,3

V120= 10,9

okkk

--------------------

²V 40.00 |______6,3

...- 36 ..........|. 6²=36

------------.........| 2.6=12

.......40.0 ......| 40:12=3

.....- 369.......| 123.3=369

------------

...........31

Resp: 6,3

_____________

²V 1.20.00 |_________10,9

-1.................| 1²=1

--------...............| 2.1=2

..02.0.............| 2:2=0

...- 0 ..............| 20 .0=0

---------- ............|

200.0...........| 2.10=20

....-1881............| 200:20=9

------------ ..........| 209 .9= 1881

0 119

Resp: 10,9

Você vai precisar usar a fórmula de cálculo diferencial

F(x+dx)=F(x)+F'(x)*dx

Para sabermos o valor aproximado de uma raiz quadrada utilizaremos a raiz quadrada mais próxima dos valores que queremos saber. Por exemplo para sabermos a raiz de 40 trabalharemos com a raiz de 36 que é 6 e para sabermos a raiz de 120 utilizaremos a raiz de 121 que é 11.

É importante perceber que quando mais próximo o valor que queremos saber estiver perto de uma raiz exata, mais "exato" vai ficar o valor. Será possível perceber que a raiz de 121 que fica a 1 de 120 será mais exata do que a raiz de 40 que fica a 4 de 36 que é a raiz quadrada mais próxima.

Voltando a fórmula, vamos resolver a raiz de 40

F(x+dx)=F(x)+F'(x)*dx

Sabendo que:

F(x)=√x

F'(x)=1/(2√x) lembrando que F'(x) é a derivada de F(x)

x=36 nesses casos de raiz o valor de x será a raiz mais próxima

dx= 4 nesses casos dx será a diferença da raiz exata mais próxima do valor que queremos descobrir a raiz (40-36=4)

Teremos

F(x+dx)=F(x)+F'(x)*dx

F(36+4)=F(36)+F'(36)*4

F(40)=√36+(1/(2√36))*4

F(40)=6+ 0,333333

F(40)=6,333333....

Se você fizer na calculadora irá perceber que √40=6,324...

Ou seja, acerto de uma casa decimal

Pode usar a mesma lógica para achar √120

Sabendo que:

F(x)=√x

F'(x)=1/(2√x) lembrando que F'(x) é a derivada de F(x)

x=120 nesses casos de raiz o valor de x será a raiz mais próxima

dx= -1 nesses casos dx será a diferença da raiz exata mais próxima do valor que queremos descobrir a raiz (120-121=1)

Teremos

F(x+dx)=F(x)+F'(x)*dx

F(121+(-1))=F(121)+F'(121)*-1

F(120)=√121+(1/(2√121))*-1

F(120)=11+(-0,04545...)

F(120)=10,95454...

Se você fizer na calculadora irá perceber que √120=10,9544...

Para resolver a questão você precisará ter conhecimentos básicos de derivada.

Espero ter ajudado.

V40 = 6,3

V120 = 10,9

√40 = 6,3

√120 = 11,0

pronto