Verified answer

Hola

1) (x y) ( x + y) = 180

2) (1/x) + (1/y) = 9/20

de 2)

3) (x + y)/(x y) = 9/20

Multiplicamos 1) 3)

(x + y)^2 = 180*(9/20)

(x + y)^2 = 9*9

x + y = +/-9

**************

Dividimos 1) 3)

(x y)^2 = 180 / (9/20) = 180*20/9 = 20^2

x y = +/- 20

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Tenemos 2 sistemas de ecuaciones

Primer sistema

x + y = -9

x y = -20

x,y soluciones de

u^2 + 9 u - 20 = 0

FÓRMULA ECUACIÓN CUADRÁTICA INCOMPLETA

u₁;u₂ = { -(p) ± √[(p)² - 4(q)] }/(2)

u₁;u₂ = { -(9) ± √[(9)² - 4(-20)] }/(2)

u₁;u₂ = { -(9) ± √[81 + 80] }/(2)

u₁;u₂ = { -(9) ± √(161) }/(2)

x;y ó y;x = (-(9) ± √(161))/(2)

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Segundo sistema

x + y = +9

x y = +20

x,y soluciones de

u^2 - 9 u + 20 = 0

FÓRMULA ECUACIÓN CUADRÁTICA INCOMPLETA

u₁;u₂ = { -(-p) ± √[(p)² - 4(q)] }/(2)

u₁;u₂ = { (9) ± √[(-9)² - 4(20)] }/(2)

u₁;u₂ = { (9) ± √[81 - 80] }/(2)

u₁;u₂ = { (9) ± √(1) }/(2)

u₁;u₂ = { (9) ± 1 }/(2)

u₁;u₂ = (9-1)/2 = 4 ; (9+1)/2 = 5

x;y ó y;x = 4 ; 5

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Verificamos la segunda solución

x^2 y + y^2 x = 4^2 * 5 + 5^2 * 4 = 80 + 100 = 180

(1/4) + (1/5) = (5/20) + (4/20) = 9/20

La primera es más complicada

pero también es solución...

Factorizo la primera ecuación:

xy(x+y) = 180;

Factor común en la segunda ecuación, y luego multiplico todo por xy:

(y+x) = (9/20) xy:

xy * (9/20) xy = 180:

(xy)^2 = 180*20/9

(xy)^2 = 400;

xy=+-20

Reemplazo en: xy(x+y) = 180;

(+-20) (x+y) = 180;

x+y = +-9;

Reemplazo en: (y+x) = (9/20) xy:

x+y = (9/20) * (+-20);

x+y = +-9;

xy= +-20; y= +-20/x;

x+y= +-9; reemplazo:

x +-(20/x) = +-9;

x^2 -+9x +-20 = 0;

[9+-√(81+-80)]/2;

(9+-1)/2; x=4; x=5; reemplazo en:

x+y= +-9;

x=4; y=5; o: y=-14;

x=5; y=4; o: y=-13;

Corroboro:

(4; 5): 16*5 + 25*4 = 180; 80 + 100=180;

1/4 + 1/5 = 9/20; (5+4)/20 = 9/20; es correcto:

Con (5; 4) queda igual, también es correcto.

(4; -13): 16*(-13) + 169*4 = 180; (-208) + 676 = 468; no válido;

(5; -14): 25*(-14) + 196*5 = -350+980 = 630; no válido.

Tus dos respuestas: x=5; y=4; o: x=4; y=5.