¿Verdadero y falso de derivadas:?
a) Si f `(c) = 0 y f `` (c)=0 para un cierta función f entonces f(c) no es un valor extremo.
b) Toda función cuadrática no posee puntos de inflexión.
c) Si f(x,y)= x + y entonces -1≤ Duf(x,y)≤ 1 para todo u unitario.
d) Si z= f(x,y) es tal que ∂z/∂x =∂z/∂y. Entonces z = c(x+y).
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Hola
a)
Falso
y = x^4
tiene nulos en x = 0
f ; f' , f'' , f''' y no nula f'''' = 24
Tiene un extremo (mínimo relativo) en x = 0
b)
Verdadero
Todas tienen sus segundas derivadas constantes,
la curvatura es constante.
c)
Falso
Gradiente
∇f = ∂f/∂x i + ∂f/∂y j = i + j
Vector unitario en dirección u
u = ux i + uy j = cos(a) i + sen(a) j
Derivada en la dirección u
Duf = ∇f * u
Duf = (i + j) (cos(a) i + sen(a) j)
Duf = ux + uy = cos(a) + sen(a)
Para a = 45º
Duf = 0.707 + 0.707 = 1.414 > 1
d)
Verdadero
Nombramos
∂z/∂x = ∂z/∂y = F(x,y)
Primero
∂z/∂x = F(x,y)
Integramos
z = ʃ F dx + G(y) G(y) ; función indeterminada de y
Segundo
∂z/∂y = F(x,y)
Integramos
z = ʃ F dy + H(x) H(x) ; función indeterminada de x
Como G(y) , H(x) son funciones exclusivas de y;x
se debe cumplir, salvo constante de integración
ʃ F dy = G(y)
ʃ F dx = H(x)
z = H(x) + G(y)
Deducimos
F = dG(y)/dy = dH(x)/dx
Entonces F debe ser función,
al mismo tiempo, de "x" y de "y"
por lo que debe ser una constante
F = c
H(x) = ʃ F dx = c x
G(y) = ʃ F dy = c y
z = c(x + y)
salvo una constante de integración.
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