Indicar si las afirmaciones son verdaderas o falsas. Justificar.
a- Toda función continua, no negativa y estrictamente creciente posee, al menos, un punto de inflexión.
b- La función f(x) = x^(201) + x^(101) + x -2 tiene al menos una raíz real.
c- Si una función f tiene un máximo en x = a, entonces f`(1) =0.
d- Sea f y g funciones discontinuas en x = 0, entonces la función h(x) =f(x)g(x) también es discontinua en x = 0.
e- Toda función cóncava hacia arriba en todo su dominio tiene un mínimo.
f- La curva x^2y^2 = x^2 + y^2 no tiene recta tangente.
g- Si f es una función dos veces diferenciable entonces d^2f/dx^2 = ( df/dx)^2.
h- La función f(x) = x^2 + 5x + 6 tiene recta tangente paralela al eje x en el punto (-5/2 ; -1/4).
i- Sea f(x) una función creciente derivable en todo R tal que f´(0) = 1. Entonces f´(2) > 1.
j- Una partícula P que se mueve a lo largo de la curva x^2y^3 = 27. Si se sabe que cuando P está en el punto (1,3), dy/dx = 10, entonces dx/dt > 0.
k- Sea f una función tal que f´(2) = 0, entonces f(x) tiene un máximo o un mínimo en x= 2.
l- Sea f una función tal que f´´(1) = 0, entonces (1; f(1)) es un punto de inflexión de la curva y = f(x).
m- Sean f y g funciones tales que f´(x) = g´(x) para -1≤ x ≤ 1, entonces f(x) = g(x) para -1≤ x ≤ 1.
n- dtg(x) / dx = 1 + tg^2 (x).
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a- Toda función continua, no negativa y estrictamente creciente posee, al menos, un punto de inflexión.
Falso
Contraejemplo
y = e^x
b- La función f(x) = x^(201) + x^(101) + x -2 tiene al menos una raíz real.
Verdadero
f(0) = -2 ; f(1) = 1
Entre 0 y 1 hay, al menos, un valor que anula f(x) (raíz real)
c- Si una función f tiene un máximo en x = a, entonces f`(1) =0.
Falso
Condición
Primera derivada = 0 ; Segunda derivada < 0
d- Sea f y g funciones discontinuas en x = 0, entonces la función h(x) =f(x)g(x) también es discontinua en x = 0.
Falso
Contraejemplo
f(x) = 1 para x < 0 ; f(x) = 2 para x>= 0
f(x) = 2 para x < 0 ; f(x) = 1 para x>= 0
Para todo real
f(x) g(x) = 2
e- Toda función cóncava hacia arriba en todo su dominio tiene un mínimo.
Falso, hace falta que la derivada primera se anule también.
Contraejemplo
y = e^x
f- La curva x^2y^2 = x^2 + y^2 no tiene recta tangente.
Falso, es implícita de grado 4, por lo tanto diferenciable
g- Si f es una función dos veces diferenciable entonces d^2f/dx^2 = ( df/dx)^2.
Falso, confusión de notación.
Lo primero es derivada segunda, lo segundo es cuadrado de derivada primera.
h- La función f(x) = x^2 + 5x + 6 tiene recta tangente paralela al eje x en el punto (-5/2 ; -1/4).
Verdadero x =-5/2 anula la derivada 2 x + 5
i- Sea f(x) una función creciente derivable en todo R tal que f´(0) = 1. Entonces f´(2) > 1.
Falso, si es creciente, la derivada es positiva, nada mas.
Contraejemplo
f(x) = (3/4) x + (x - 2)^3/48
Derivada primera
f'(x) = (3/4) + (x - 2)^2/16
Esta derivada es siempre positiva,
siempre igual ó mayor a 3/4
Tenemos
f'(0) = (3/4) + (4/16) = (3/4) + (1/4) = 1
f'(2) = 3/4 < 1
j- Una partícula P que se mueve a lo largo de la curva x^2y^3 = 27. Si se sabe que cuando P está en el punto (1,3), dy/dx = 10, entonces dx/dt > 0.
Falso, depende también del signo de dy/dt ,
el cambio con el tiempo de la variable y
k- Sea f una función tal que f´(2) = 0, entonces f(x) tiene un máximo o un mínimo en x= 2.
Falso, la derivada segunda debería ser distinta de 0
Contraejemplo
f(x) = 1 + (x - 2)^3
f'(2) = 0 ; f''(2) = 0 ; f'''(2) ≠ 0
y tenemos un punto de inflexión en x = 2
l- Sea f una función tal que f´´(1) = 0, entonces (1; f(1)) es un punto de inflexión de la curva y = f(x).
Falso, verdadero en caso de que f'''(1) ≠ 0
Contraejemplo
Para f(x) = 1 + (x - 1)^4
f''(1) = 0 ; f'''(1) = 0 ; f''''(1) ≠ 0
y tenemos un mínimo en x = 1
m- Sean f y g funciones tales que f´(x) = g´(x) para -1≤ x ≤ 1, entonces f(x) = g(x) para -1≤ x ≤ 1.
Falso, pueden diferir en una constante.
n- dtg(x) / dx = 1 + tg^2 (x).
Verdadero
d(tg(x)) / dx = sec^2(x) = 1 + tg^2 (x).
asas