Verified answer

Observando que são polinômios (no numerador e no denominador) a princípio vemos que o domínio são os números reais. Sabendo que o denominador não pode ser igual a zero, precisamos achar suas raízes.

x² - 6x + 9. Um pouco de cálculo com a fórmula de Bháskara ou outra qualquer que você se sinta à vontade para resolver equação de 2o grau, revela que as raízes são 3 e ... 3 =)

assim, nossa preocupação seria que o 'x' não fosse igual a 3. mas a questão por si só já contorna esse problema.

Feito isso, concentremo-nos na "simplificação". Nas frações, significa tornar ela irredutível. Com polinômios isso ocorre quando eliminamos os fatores que ocorrem devido as raízes comuns entre o numerador e o denominador. Assim, se 3 for raiz do numerador, será possível simplificar a fração.

Observando que 9 - 3² = 0 vemos que 3 é raiz do numerador.

Fatorando 9 - x²:

(3 + x)(3 - x)

Fatorando o denominador:

x² - 6x + 9 => (x - 3)(x - 3)

ou seja:

(9 - x²)/(x² - 6x + 9) = [(3 + x)(3 - x)] / [(x - 3)(x - 3)]

lembrando que (3 - x) = (-1)(x - 3) temos:

(9 - x²)/(x² - 6x + 9) = (-1) [(x + 3)(x - 3)] / [(x - 3)(x - 3)]

Podemos eliminar o fator comum (x - 3) e assim obtemos:

(9 - x²)/(x² - 6x + 9) = (-1)(x + 3)/(x - 3)

ou

(9 - x²)/(x² - 6x + 9) = (3 + x)/(3 - x) para todo x real com x diferente de 3

Que é a nossa simplificação.

9-x²/x²-6x+9=

(3+x)(3-x)/(x+3)(x+3)=

3-x/x+3

9 - x² = (3 + x)*(3 - x)

x² - 6x + 9 = (x - 3)²

(3 + x)*(3 - x)/(x - 3)*(x - 3) = (3 + x)/(3 - x) com x diferente de 3

pronto

( 9 - x^2 ) / ( x^2 - 6x + 9 )

Para determinar o intervalo para que a expressão seja válida temos que nos preocupar unicamente com o denominador, uma vez que ele não pode dar zero, afinal, um numero divido por zero é uma indeterminação, isto é, não pode acontecer.

Sendo assim, nos preocupemos apenas com o denominador e que ele seja diferente de zero. Calculemos:

x^2 - 6x + 9 |= 0

Se olharmos bem essa parte da expressão percebemos que é a diferença entre dois quadrados.

Repare que se dividirmos o -6x por 2x acharemos o valor -3, equivalente ao segundo termo de (ax + b)^2

(caso não tenha entendido de onde eu tirei o 2x, basta lembrar que (x - b)^2 = x^2 - 2.b.x + b^2, o dois vem de 2.b.x)

Voltando... então já sabemos que o primeiro termo é x e o segundo -3, dai tiramos que

x^2 - 6x + 9 |= 0

( x - 3 )^2 |= 0

se tirarmos a raiz de ambos os lados temos que

( raiz ) ( x - 3 )^2 |= ( raiz ) ( 0 )

sabemos que raiz de zero é zero, então

x - 3 |= 0

logo, x |= 3

solução { x pertence aos reais / x seja todos os reais exceto 3 ou x |= 3 }

__________________________________________________________________________________

de forma mais simplificada

( 9 - x^2 ) / ( x^2 - 6x + 9)

( 9 - x^2 ) existe para qualquer x (para todo x)

( x^2 - 6x + 9 ) = ( x - 3 )^2

O denominador tem que ser diferente de zero, então

( x - 3 )^2 |= 0

( raiz ) ( x - 3 )^2 |= 0

x - 3 |= 0

x |= 3