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Inicialmente fatoramos o número

571536000|2

285768000|2

142884000|2

71 442 000|2

35 721 000|2

17 860 500|2

..8 930 250|2

..4 465 125|3

..1 488 375|3

.....496 125|3

.....165 375|3

.......55 125|3

.......18 375|3

..........6125|5

..........1225|5

............245|5

..............49|7

................7|7

................1

Logo:

571536000 = 7^2 . 5^3 . 3^6 . 2^7

Donde surge a relação

o 7 figura duas vezes: 7^0 e 7^2

O 5 figura uma vez: 5^2

O 3 figura 3 vezes: 3^2; 3^4 e 3^6

O 2 figura 3 vezes: 2^2; 2^4; 2^6

Totalizando até agora 9 quadrados perfeitos.

O 7^2 pode multiplicar outros 7 (o 1 não pode) quadrados, totalizando outros 7 quadrados perfeitos

O 5^2 pode multiplicar outros 6 quadrados, totalizando outros 6 quadrados perfeitos

O 3^2 pode multiplicar outros 5 quadrados, totalizando outros 5 quadrados perfeitos

O 3^4 pode multiplicar outros 4 quadrados, totalizando outros 4 quadrados perfeitos

O 3^6 pode multiplicar outros 3 quadrados, totalizando outros 3 quadrados perfeitos

O 2^2 pode multiplicar outros 2 quadrados, totalizando outros 2 quadrados perfeitos

O 2^4 pode multiplicar outro 1 quadrado perfeito, totalizando mais 1 quadrado perfeito.

Logo, a quantidade de divisores quadrados perfeitos é igual a:

9 +7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 37 divisores quadrados perfeitos

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Edição:

Ao ler a resposta do colega, reparei que faltou issso

Os sete números secundários de 7^2, podem multiplicar outros 6 quadrados restantes, logo, são mais 6 números

O 6 números secundários de 5^2 podem multiplicar outros 5 números, totalizando outros 5 quadrados perfeitos

O 5 quadrados secundários de 3^2, podem multiplicar 4 outros, totalizando 4

Os secundários de 3^4 pode multiplicar outros 3 quadrados, totalizando outros 3 quadrados perfeitos

Os secundários de 3^6 pode multiplicar outros 2 quadrados, totalizando outros 2 quadrados perfeitos

Os secundários de 2^2 pode multiplicar outro 1 quadrado, totalizando outros 1 quadrados perfeitos

Logo, nossos divisores ficam:

37 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1= 58

Já os terceiros, podem ser 20 + 9 + 4 + 2 + 1 = 38

Totalizando 58 + 38 = 96

Eu escrevi um programa de computador usando o linguagem Python

Ele descobriu 64 divisores quadrados perfeitos

[1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 144, 196, 225, 324, 400, 441,

576, 729, 784, 900, 1225, 1296, 1600, 1764, 2025, 2916, 3136, 3600,

3969, 4900, 5184, 7056, 8100, 11025, 11664, 14400, 15876, 18225,

19600, 28224, 32400, 35721, 44100, 46656, 63504, 72900,78400,

99225, 129600, 142884, 176400, 254016, 291600, 396900, 571536,

705600, 893025, 1166400, 1587600, 2286144,3572100,6350400,

14288400, 57153600]