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Vamos considerar os 10 dedos enumerados de 1 a 10, do mínimo da mão esquerda ao mínimo da mão direita. Há assim C(10, 4) = 210 formas de escolhermos os dedos a receberem os anéis. Aqui a ordem não influi, pois os dedos têm uma numeração fixa definida.

Escolhidos os dedos, vamos alocar os anéis. Como há mais anéis do que dedos, pelo menos um deles vai receber mais de 1 anel (princípio das casas dos pombos). Como nenhum dedo pode ficar sem anel, temos que resolver a equação diofantina x + y + z + t = 6, onde as variáveis, inteiras positivas, representam o número de anéis alocados em cada dedo. É fácil ver que há dois conjuntos disjuntos e complementares de solução: um do tipo (3, 1, 1, 1), com o 3 e os 1's percorrendo as 4 variáveis x, y, z e t, e outro do tipo (2, 2, 1, 1), com os 2's e os 1's percorrendo as mesmad variáveis. O 1o conjunto tem então C(4,1) = 4 elementos eo 2o C(4,2) = 6 elementos.

Vamos analisar o 1o conjunto de distribuição do número de anéis por dedo. Entendo que, num mesmo dedo, a ordem em que os anéis são alocados faz diferença. Por exemplo, se for um de diamantes, um de ouro e um de prato, colocar o de diamantes na frente, o de ouro no meio e o de prata atrás é diferente de colocar o de ouro na frente, o de diamantes no meio e o de prata atrás. Para o dedo com 3 anéis, há então A(6,3) = 6 x 5 x 4 = 120 formas de alocação. E os outros 3 que recebem 1 anel dão origem a 3! = 6 possíveis alocações, havendo assim, para cada elemento do conjunto, 120 x 6 = 720 possibilidades. De modo um pouco mais formal e geral, são A(6, 3) x A(3,1) x A(2,1) x A(1, 1), pois à medida em que se alocam anéis nos dedos, sobram menos para se alocar nos remanescentes.

Temos, então, que o 1o conjunto de alocação do número de anéis por dedos origina 4 x 720 = 2880 elementos.

Com um raciocínio similar, vemos que cada elemento do 2o conjunto de alocação do número de anéis por dedos origina A(6,2) x A(4,2) x A(2,1) x A(1,1) = 30 x 12 x 2 x 1 = 720 possibilidades de alocação dos anéis nos 4 dedos. Logo, o 2o conjunto de alocação dos anéis por dedo origina 6 x 720 = 4320 formas de se distribuir os anéis.

Isto significa que, a cada escolha dos 4 dedos a receberem os anéis, temos 2880 + 4320 = 7200 formas de alocação. E como há 210 formas de escolhermos os 4 dedos, temos a resposta final de 210 x 7200 = 1.512.000

Tua resposta:

(4+12+12+12+6+1+4+1) * 6!,

52* 6!

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Sejam a,b,c e d os quatro anéis a ser utilizados nos quatro dedos.

Segue que:

a + b + c + d = 6

O número de soluções inteiras não negativas dessa equação corresponde ao número de maneiras que podemos colocar os anéis nos dedos.

Assim,

Cr 6,4 = C (4 + 6 +1), 6 = C 9,6 = 9*8*7*6!/6!3! = 8*9*7/6 = 84

Definidos os dedos e quantos anéis ficarão em cada um, ainda podemos permutar os anéis de

P6 = 6! = 720 modos.

Portanto, os anéis podem ser colocados de

84 * 720 = 60.480 maneiras diferentes.

CR n, p denota o número de modos de escolher os P objetos distintos ou não entre os n objetos distintos dados.

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6! * Combs de (6+4) 4 a 4 = 6! * 10! / (6! * 4!)

Quim

4*6*P6

24*720

17280

60.480....

24