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Usando Binomio de Newton

(a; b) será um binômio

combinação (a; b)

Veja bem esta questão é bem avançada, se vc não tiver por dentro do assunto não iria conseguir fazer, nem vai entender, vou explicar o mais passo a passo possível, será uma questão de analizar o expoente que irá aparecer, tem que já está craque em operações com expoente, então se vc não entender é pq falta base.

[(x+y)+xy]¹º = (a; b)xy + (a; b)(x+y)xy + (a; b)(x+y)xy + (a; b)(x+y)xy + ... =

arrumando os espoentes, crescendo em (xy), decrescendo em (x+y)

= (10; 0)(x+y)¹º + (10; 1)(x+y)⁹(xy) + (10; 2)(x+y)⁸(xy)² + (10; 3)(x+y)⁷(xy)³

+ (10; 4)(x+y)⁶(xy)⁴...

O termo X⁵y⁷ vai está em um desenvolvimento

com este termo (xy) com expoente menor ou igual a 4

Vou começar com o segundo

(10; 1)(x+y)⁹(xy) aqui, ja tenho x em (xy) quando eu tiver x⁴ em (x+y), será em..." "

(x+y)⁹ = y⁹ + ?xy⁸ + ?x²y⁷ + ?x³y⁶ + "?x⁴y⁵"... se multiplicar por (xy) será X⁵y⁶

Não foi este, vou tentar o primeiro termo

(10; 0)(x+y)¹º

y¹º + ?xy⁹ + ?x²y⁸ + ?x³y⁷ + ?x⁴y⁶ + "?x⁵y⁵"

Vou tentar o terceiro

(10; 2)(x+y)⁸(xy)² = aqui, ja tenho x em (xy)² quando eu tiver x³ em (x+y), será em..." "

(x+y)⁸ = y⁸ + ?xy⁷ + ?x²y⁶ + "?x³y⁵"... se multiplicar por (xy)² será x⁵y⁷

Ufa! Pensei q ia ter q procurar mais.

Bom é o terceiro termo que tem x⁵y⁷, vamos ao coeficiente dele

(10; 2)(x+y)⁸(xy)² = (xy)²... vou fazer o produto (x+y)⁸ embaixo

(x+y)⁸ = [(8; 0)y⁸ + (8; 1)xy⁷ + (8; 2)x²y⁶ + (8; 3)x³y⁵ + (8; 4)x⁴y⁴...]

Então termos

(10; 2)(x+y)⁸(xy)² = (10; 2)(xy)².[...+ (8; 3)x³y⁵+ ...]. . . só interessa ?x³y⁵

fazendo a distribuitiva em (8; 3)x³y⁵

(10; 2)(xy)² (8; 3)x³y⁵ =(10; 2)(8; 3) x⁵y⁷

Ocoeficiente procurado é o produto dos 2 binômios

(10; 2) = (10*9*8!) / (2! 8!) = 90/2 = 45

(8; 3) = (8*7*6*5!) / (3! 5!) = 8*7 = 56

45*56 = 2520 é o coeficiente de 2520x⁵y⁷

Resposta: 2520

Confere as contas, pois a questão tem muita conta, mas o raciocínio é este, não precisa desenvolver tudo, só a parte interessante para responder.

2520.