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a resolução ia ficar mto grande e dificil de escrever, então vou dar a ideia de como fazer....

o triangulo ABC e ADE são semelhantes e ambos isosceles....

olha pro triangulo ABC ... AB = AC = y e BC = 4 e como o angulo em B é 30º, em C também vai ser 30 e, consequentemente, em A vai ser 120º

aplica lei dos cossenos e descubra que y = AB = AC = (4√3)/3

agora divida o triangulo ABC ao meio, traçando uma altura (toda altura forma 90º) que divida o lado BC em 2 partes iguais

pitagoras... y² = h² + 2² e ache que h = (2√3)/3

chame o segmento DE de x

chame a altura do triangulo ADE de k

chame a altura do trapezio de (2√3)/3 - k

iguale as areas do triangulo ADE com o trapezio e vc vai achar uma equação com duas incognitas (x e k)

faça semelhança de triangulos com os 2 triangulos e vc vai achar outra relação com duas incognicas (x e k)

resolva o sistema e a resposta da questão é o valor de k

usando a lei dos cossenos no triangulo ABC

temos

BAC = 120°

cos(120º) = -1/2

BC² = AB² + AC² - 2*AB*AC*cos(120º)

como AB = AC

BC² = 2AB² - 2AB²*(-1/2) = 2AB² + AB² = 3AB²

AB = AC = BC/√3 = 4/√3 = 4√3/3

valor de H altura do triangulo ABC

AB² = H² + (BC/2)²

16/3 = H² + 2²

H² = 16/3 - 12/3 = 4/3

H = 2√3/3

agora com Tales

DE/BC = h/H (h = altura do triangulo ADE)

DE/h = BC/H = 4*3/2√3 = 2√3

DE = 2√3*h

área do triangulo ADE

At = DE*h/2 = 2√3h²/2 = √3h²

área do trapezio

A = (BC + DE)*(H-h)/2

A = (4 + 2√3h)*(2√3/3 - h)/2

A = (2 + √3h)*(2√3 - 3h)/3

A = (4√3 - 6h + 6h - 3√3h²)/3

mas A = At

(4√3 - 6h + 6h - 3√3h²) = 3√3h²

6√3h² = 4√3

h² = 2/3

h = √2/√3 = √6/3 (C)

pronto

Mr Dog,

Sua questão está respondida, por favor acessar o link abaixo:

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Abç!