Hình học không gian khó ?!@?!?@?
Cho chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu của S lên ABC là H nằm trong ABC sao cho ^AHB= 150 độ, ^BHC=120 độ, ^CHA=90 độ. Biết tổng diện tích mặt cầu ngoại tiếp các hình chóp S.HAB, S.HBC,S.HCA là (31/3)pi a². Tính V S.ABC . Help me !
More Questions From This User See All
Answers & Comments
Verified answer
gọi r1,r2,r3 lần lượt là bán kính các đường tròn ngoại tiếp các tam giác HAB; HBC;HCA và R1;R2;R3 lần lượt là các bán kính hình cầu ngoại tiếp SHAB;SHBC;SHCA.
từ định lý sin dễ dàng tính được r1 = AB/(2sin120) = a/√3; r2 =BC/(2sin150) = a và r3 = CA/(2sin90) = a/2
Nhận thấy các hình cầu SHAB;SHBC;SHCA đi qua SH , vậy tâm các hình cầu trên nằm trong mặt phẳng cách (ABC) khoảng cách = (SH/2). Từ đó suy ra:
(R1)^2 = (r1)^2 + (SH/2)^2; (R2)^2 = (r2)^2 + (SH/2)^2 và (R3)^2 = (r3)^2 + (SH/2)^2
cộng vế với vế --> (R1)^2 + (R2)^2 + (R3)^2 = (r1)^2 + (r2)^2 + (r3)^2 + 3*(SH/2)^2
(R1)^2 + (R2)^2 + (R3)^2 = (a^2)/3 + a^2 + (a^2)/4 + 3*(SH/2)^2
(R1)^2 + (R2)^2 + (R3)^2 = (19/12).a^2) + (3/4)*SH^2 (*)
Lại có 4pi *[(R1)^2 + (R2)^2 + (R3)^2] = (31/3)pi.a^2 (**)
từ (*) và (**) suy ra (3/4)*SH^2 = (31/12)a^2 – (19/12)a^2 = a^2 ---> SH = 2a/(√3) -----> V(SABC) = (a^3)/6