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Uma forma de resolver isto é por produto vetorial. Um pouco trabalhoso. Vou resolver por cálculo.

Em forma paramétrica, as retas podem ser descritas pelas equações

x = -2 - 3/2 (t + 1) = -3t/2 -7/2

y = 1 - (t + 1)/2 = -t/2 + 1/2

z = t

x' = -s + 3

y' = 4s + 1

z' = s

O quadrado da distância entre 2 pontos das duas retas é

Q = (x - x')^2 + (y - y')^2 + (z - z')^2, cujas derivadas parciais são

Qt = 2 (x - x')(-3/2) + 2(y - y')(-1/2)+ 2(z - z')

Qs = 2 (x - x')(-1) + 2(y - y')(4)+ 2(z - z')

Igualando-se as expressões acima a zero obtemos os valores de s e t que minimizam a distância entre as retas. Não precisamos considerar as condições de segunda ordem, pois a definição de Q implica que, se o sistema tiver uma única solução, esta é o ponto de mínimo. Se houver infinitas soluções, as retas são paralelas. Sempre haverá solução, pois Q ≥0.

Agora é só trabalho de resolver um sistema linear de de duas equações. Encontrar Q e determinar a distância √Q. Dá muito trabalho resolver este sistema. Muito simples, mas tem que fazer algumas contas.