una masa de 5 kg se une a un resorte de constante k=5 N/m y aun amortiguador de constante C=26 N s/m .La masa se suelta del punto Xo=0.1 m con velocidad Vo=1:94 m/s
1) la posición ,velocidad y aceleración de la masa en el tiempo t ≥ 0
2) el tiempo en que la masa cruza por la posición de equilibrio y la velocidad en ese instante
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Hola
El resorte reacciona
con una fuerza proporcional a la longitud
El amortiguador reacciona
con una fuerza (fricción) proporcional a la velocidad
Las leyes de Newton nos dicen que
F = m a = m x'' = - c x' - k x
En otra forma
m x'' + c x' + k x = 0
ó
x'' + (c/m) x' + (k/m) x = 0
c/m = (26 N s/m)/5 kg
c/m = (26 (kg m/s^2) s/m)/5 kg
c/m = (26/5) 1/s
c/m = 5.2 (1/s)
**********
k/m = (5 N/m)/ 5 kg
k/m = (5 (kg m/s^2)/m) / 5 kg
k/m = 1 (1/s^2)
La ecuación queda
x'' + 5.2 x' + x = 0
[x] = m ; [x'] = m/s ; [x''] = m/s^2
Condiciones iniciales
xo = 0.1 m
x'o = 1.94 m/s
Las soluciones de
x'' + 5.2 x' + x = 0
dependen de las soluciones de
r^2 + 5.2 r + 1 = 0
completamos cuadrados
r^2 + 2 *2.6 r = -1
r^2 + 2 * 2.6 r + 2.6^2 = 2.6^2 - 1
(r + 2.6)^2 = 6.76 - 1 = 5.76 = 2.4^2
r + 2.6 = +/- 2.4
r = -2.6 +/- 2.4
Dos soluciones
r1 = -2.6 - 2.4 = -5
r2 = -2.6 + 2.4 = -0.2
Soluciones de
x'' + 5.2 x' + x = 0
x = C1 e^(-2.6 t) + C2 e^(-0.2 t)
*********
Se trata de un movimiento exponencial amortiguado
porque las 2 soluciones son reales negativas
Condiciones iniciales
xo = C1 + C2 -> C2 = xo - C1
x' = -2.6 C1 e^(-2.6 t) - 0.2 C2 e^(-0.2 t)
x'o = -2.6 C1 - 0.2 C2
x'o = -2.6 C1 - 0.2 (xo - C1)
x'o = -2.6 C1 - 0.2 xo + 0.2 C1
x'o = -2.4 C1 - 0.2 xo
-2.4 C1 = xo' + 0.2 xo
C1 = (-1/2.4) (xo' + 0.2 xo)
*******
C2 = xo - C1
C2 = (1/2.4) (2.4 xo) + (1/2.4) (xo' + 0.2 xo)
C2 = (1/2.4) (xo' + 2.6 xo)
*******
Solución general
x = C1 e^(-2.6 t) + C2 e^(-0.2 t)
x(t) = -(1/2.4) (xo' + 0.2 xo) e^(-2.6 t) +
+ (1/2.4) (xo' + 2.6 xo) e^(-0.2 t)
***********
Con los datos que tenemos
C1 = (-1/2.4) (xo' + 0.2 xo)
C2 = (1/2.4) (xo' + 2.6 xo)
xo = 0.1 m
x'o = 1.94 m/s
C1 = (-1/2.4) (1.94 + 0.2 * 0.1)
C1 = (-1/2.4) (1.94 + 0.02)
C1 = (-1/2.4) 1.96 = -196/240 = -98/120
C1 = -49/60
*****
C2 = (1/2.4) (xo' + 2.6 xo)
C2 = (1/2.4) (1.94 + 2.6 * 0.1)
C2 = (1/2.4) (1.94 + 0.26)
C2 = (1/2.4) (2.20) = 220/240 = 22/24
C2 = 11/12
**************
1)
Solución con números
Posición
x(t) = -(49/60) e^(-2.6 t) + (11/12) e^(-0.2 t)
****************
Velocidad
x'(t) = (49*2.6/60) e^(-2.6 t) - (11*0.2/12) e^(-0.2 t)
x'(t) = (637/300) e^(-2.6 t) - (11/60) e^(-0.2 t)
****************
Aceleración
x''(t) = -(637*2.6/300) e^(-2.6 t) + (11*0.2/60) e^(-0.2 t)
x''(t) = -(8281/1500) e^(-2.6 t) + (11/300) e^(-0.2 t)
****************
Verificamos las condiciones iniciales
xo = (-49/60) + (11/12) = (-49 + 55)/60 = 6/60 = 1/10 = 0.1
x'o = (637/300) - (11/60) = (637 - 55)/300 = 582/300 = 194/100 = 1.94
x''o = -(8281/1500) + (11/300) = (-8281 + 55)/1500 = -8236/1500
2)
posición de equilibrio x = 0
x(t) = -(49/60) e^(-2.6 t) + (11/12) e^(-0.2 t) = 0
(49/60) e^(-2.6 to) = (11/12) e^(-0.2 t)
e^((-2.6 + 0.2) to) = (11*60)/(12*49)
-2.4 to = ln((11*60)/(12*49))
to = (-1/2.4) ln((11*60)/(12*49))
to = -0.048 s
****************
v(to) = (637/300) e^(-2.6 (-0.048)) - (11/60) e^(-0.2 (-0.048))
v(to) = 2.22 m/s
********************
Verificado con Graphmatica.
Saludos.
se supone que es practica para ti no para que te la hagan , busca ejemplos en youtube