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Hola

Elegimos la parte positiva entre 0 y 2

y = x (x - 2)^(1/2)

El área del lazo

es el doble del área de la parte de arriba entre 0 y 2

por simetría de las DOS funciones

y = + x (x - 2)^(1/2)

y = - x (x - 2)^(1/2)

Area = 2 ʃ[x_de_0_a_2] x (x - 2)^(1/2) dx

sustituimos

u = 2 - x

x = 2 - u

dx = - du

cuando x = 0 -> u = 2

cuando x = 2 -> u = 0

Area = 2 ʃ[u_de_2_a_0] (2 - u) u^(1/2) (-du)

Usamos el - para invertir los límites

Area = 2 ʃ[u_de_0_a_2] (2 - u) u^(1/2) du

Desarrollamos

Area = 2 ʃ[u_de_0_a_2] (2 u^(1/2) - u^(3/2)) du

Area = 2 ( 2 (1/(3/2)) u^(3/2) - (1/(5/2)) u^(5/2)) [u_de_0_a_2]

Area = 2 ( (4/3) u^(3/2) - (2/5) u^(5/2)) [u_de_0_a_2]

Area = 2 ( (4/3) (2)^(3/2) - (2/5) (2)^(5/2))

Area = 2 ( (4/3) 2 √2 - (2/5) 4 √2)

Area = 2 ( (8/3) - (8/5)) √2

Area = 2 ( (40/15) - (24/15)) √2

Area = (32/15) √2

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Saludos