5

Como el exponente es igual para todos solo se suman los términos:

1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25

O sea 25^2009

Como 25 (o 5 o en general cualquiera que termine en cinco) elevado a cualquier potencia termina en 5, pues la respuesta que estamos buscando es 5.

Hola

1^2009 = 1

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Potencias de 3

3^1 = 3

3^2 = 9

3^3 = 27 ≡ 7 (mod 10)

3^4 = (20+ 7)^3 ≡ 7^3 ≡ 3 (mod 10)

3^5 = 3^4 * 3 ≡ 3*3 = 9 (mod 10)

3^6 = 3^5 * 3 ≡ 9*3 = 7 (mod 10)

Vemos que el ciclo de dígitos de potencias de 3

es de 3 con los elementos 3;9;7

para los restos 1,2,0 de la división por 3 del exponente

2009 = 2007 + 2 = 3*669 + 2

3^2009 ≡ 3^2 = 9 (mod 10)

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Potencias de 5

5^1 = 5

5^2 = 25 ≡ 5 (mod 10)

5^3 = 5^2 * 5 ≡ 5 * 5 ≡ 5 (mod 10)

5^4 = 5^3 * 5 ≡ 5 * 5 ≡ 5 (mod 10)

Entonces

5^2009 ≡ 5 (mod 10)

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Potencias de 7

7^1 = 3

7^2 = 49 ≡ 9 (mod 10)

7^3 = 7^2 * 7 ≡ 9*7 ≡ 3 (mod 10)

7^4 = 7^3 * 7 ≡ 3*7 ≡ 1 (mod 10)

7^5 = 7^4 * 7 ≡ 1*7 ≡ 7 (mod 10)

7^6 = 7^5 * 7 ≡ 7*7 ≡ 9 (mod 10)

7^7 = 7^6 * 7 ≡ 9*7 ≡ 3 (mod 10)

7^8 = 7^7 * 7 ≡ 3*7 ≡ 1 (mod 10)

Vemos que el ciclo de dígitos de potencias de 7

es de 4 con los elementos 3;1;7;9

y 3;9 para los exponentes 1;2

para los restos 1,2,3,0 de la división por 4

del exponente menos 2

2009 = 2007 + 2 = 2004 + 3 + 2 = 501*4 + 3 + 2

7^2009 ≡ 7^5 (mod 10)

7^2009 ≡ 7 (mod 10)

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Potencias de 9

9^1 = 9

9^2 = 81 ≡ 1 (mod 10)

9^3 = 9^2 * 9 ≡ 1*9 ≡ 9 (mod 10)

9^4 = 9^3 * 9 ≡ 9*9 ≡ 1 (mod 10)

Vemos que el ciclo de dígitos de potencias de 9

es de 2 con los elementos 9;1

para los restos 1,0 de la división por 2

del exponente

2009 = 2008 + 1 = 1004*2 + 1

9^2009 ≡ 9^1 (mod 10)

9^2009 ≡ 9 (mod 10)

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Entonces

1^2009 + 3^2009 + 5^2009 + 7^2009 + 9^2009 ≡

≡ 1 + 9 + 5 + 7 + 9 (mod 10)

1^2009 + 3^2009 + 5^2009 + 7^2009 + 9^2009 ≡

≡ 31 (mod 10)

1^2009 + 3^2009 + 5^2009 + 7^2009 + 9^2009 ≡

≡ 1 (mod 10)

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Último dígito de la suma

1

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