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Trattasi di funzione definita su tutto il piano R².

Dato che f si ottiene componendo funzioni continue e con derivate parziali continue, f è continua ed ha derivate parziali continue in ogni punto di R², ovvero f è di classe C¹(R²), quindi è differenziabile in ogni punto di R².

La "verifica" diretta della differenziabilità in ogni punto di R² è piuttosto complicata.

Dovresti far vedere che, in ogni punto (a, b) di R²,

1) f possiede entrambi le derivate parziali

. lim (f(a+h, b) – f(a, b))/h = u

h→0

. lim (f(a, b+k) – f(a, b))/k = v

k→0

2) vale il seguente limite:

. . . lim (f(a+h, b+k) – f(a, b) – uh – vk)/√(h² + k²) = 0

(h,k)→(0,0)