Se m ≠ 1, f é um trinômio do segundo grau e apresenta mínimo se, e somente se, o coeficiente do termo do 2o grau for positivo. Logo, se, e somente se, m > 1.
O mínimo ou máximo de um trinômio do 2o grau é -Δ/(4a), sendo a o coeficiente de x^2. Assim, devemos ter
-[(m + 1)^2 - 4(m - 1)(-m)]/[4(m -1)] = 1
m^2 + 2m + 1 + 4m^2 - 4m = -4m + 4
5m^2 + 2m - 3 = 0
Pela fórmula da equação quadrática, chegamos a m = 3/5 ou m = -1. Mas, conforme vimos, para que f tenha mínimo precisamos ter m > 1. Nenhum dos valores acima satisfaz. Para eles, f teria um máximo. Assim, não há valor de m que faça com que o mínimo de f seja 1.
Answers & Comments
Verified answer
Se m = 1, f (x) = 2x - 1, que não tem mínimo.
Se m ≠ 1, f é um trinômio do segundo grau e apresenta mínimo se, e somente se, o coeficiente do termo do 2o grau for positivo. Logo, se, e somente se, m > 1.
O mínimo ou máximo de um trinômio do 2o grau é -Δ/(4a), sendo a o coeficiente de x^2. Assim, devemos ter
-[(m + 1)^2 - 4(m - 1)(-m)]/[4(m -1)] = 1
m^2 + 2m + 1 + 4m^2 - 4m = -4m + 4
5m^2 + 2m - 3 = 0
Pela fórmula da equação quadrática, chegamos a m = 3/5 ou m = -1. Mas, conforme vimos, para que f tenha mínimo precisamos ter m > 1. Nenhum dos valores acima satisfaz. Para eles, f teria um máximo. Assim, não há valor de m que faça com que o mínimo de f seja 1.
(m - 1)*x² + (m + 1)*x - m = 0
delta
d² = (m + 1)² - 4*(m - 1)*(-m)
d² = m² + 2m + 1 - (4m - 4)*(-m)
d² = m² + 2m + 1 + 4m² - 4m
d² = 5m² - 2m + 1
valor minino
vy = -d²/4a
vy = -(5m² - 2m + 1)/(4*(m - 1)) = 1
-5m² + 2m - 1 = 4m - 4
5m² + 2m -3 = 0
delta
d² = 4 + 60 = 64
d = 8
m1 = (-2 + 8)/10 = 3/5
m2 = (-2 - 8)/10 = -1
pronto