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1- Hallar si existen, los valores de a, b tales que la función :

ax + b, si x ≤ -1

be^(3x) +1, si x > -1

sea derivable en todo R.

Analizar la continuidad de la función f.

f'(x) = a si x ≤ -1

f'(x) = 3 b e^(3x) si x > -1

Para que sea derivable en el único punto cuestionable,

que es x = -1

se debe cumplir la igualdad de las derivadas

a = 3 b e^(3 (-1))

ó

a = 3 e^(-3) b

para cualquier b

también debe ser continua la función en x = -1

a(-1) + b = be^(3(-1)) +1

- 3 e^(-3) b + b = b e^(-3) + 1

b(1 - 3 e^(-3) - e^(-3)) = 1

b = 1 / (1 - 4 e^(-3))

queda

(3 e^(-3) x + 1) / (1 - 4 e^(-3)) , si x ≤ -1

(e^(3x) / (1 - 4 e^(-3))) +1, si x > -1

que es continua y derivable

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1, si x ≤ 1

2, si x > 1

NO es derivable ni continua en x = 1

para x ≠ 1 f'(x) = 0