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a) log16 (x-3) + log4 (x-3) + log2 (x-3) = 14

mudânca na base 10

log(x - 3)/log(16) + log(x - 3)/log(4) + log(x - 3)/log(2) = 14

log(x - 3)/4log(2) + log(x - 3)/2log(2) + log(x - 3)/log(2) = 14

log(x - 3)/log(2) * (1/4 + 1/2 + 1) = 14

log(x - 3)*(1/4 + 2/4 + 4/4) = 14*log(2)

log(x - 3)*(7/4) = 14*log(2)

log(x - 3) = 4*14log(2)/7

log(x - 3) = 8log(2)

(x - 3) = 2^8 = 256

x = 259

b) log3 (x²-4) - log9 (x²-4) = 1/2

log(x² - 4)/log(3) - log(x² - 4)/2log(3) = 1/2

2log(x² - 4)/2 - log(x² - 4)/2 = log(3)/2

log(x² - 4) = log(3)

x² - 4 = 3

x² = 7

x = ± √7

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Por favor, não esqueça de escolher uma melhor resposta.

.

Vamos lá.

Temos:

a) log(x-3)+log(x-3)+log(x-3) = 14

.....16.............4............2

Veja que: 16 = 2^(4) e 4 = 2². Assim, ficamos com:

log(x-3)+log(x-3)+log(x-3) = 14

.2^4..........2²............2

Veja que loga = (1/c).loga

................b^c................b

Então, a nossa expressão ficará sendo:

(1/4).log(x-3)+(1/2).log(x-3)+log(x-3) = 14 ---veja que mloga = loga^m. Então:

...........2.....................2.............2

log(x-3)^(1/4)+log(x-3)¹/²+log(x-3) = 14 ----veja que loga+logb+logc = loga.b.c. Assim:

..2......................2................2

log(x-3)^(1/4).(x-3)¹/².(x-3) = 14

..2

Agora veja que:

(x-3)^(1/4).(x-3)¹/².(x-3) = (x-3)^(1/4+1/2+1) = (x-3)^(7/4). Assim, a nossa expressão ficará:

log(x-3)^(7/4) = 14 -----veja: o que temos aí ao lado é a mesma coisa que:

...2

(x-3)^(7/4) = 2^(14) -----veja que (x-3)^(7/4) = raiz quarta de (x-3)^(7). Então:

4______

V(x-3)^7 = 2^(14) -----para eliminarmos o radical, vamos elevar ambos os membros à 4ª potência. Assim:

.4______

[V(x-3)^7]^(4) = [2^(14)]^(4)

(x-3)^7 = 2^(14*4)

(x-3)^(7) = 2^(56) -----dividindo cada expoente por 7, vamos ficar com:

(x-3)^(7/7) = 2^(56/7)

(x-3)¹ = 2^(8)

x-3 = 2^(8) ------veja que 2^(8) = 256. Assim:

x-3 = 256

x = 256+3

x = 259 <-----Pronto. Essa é a resposta da questão "a".

b) log(x²-4)-log(x²-4) = 1/2 ----veja que 9 = 3². Assim:

.......3.............9

log(x²-4)-log(x²-4) = 1/2

..3............3²

Mas veja que, como vimos na 1ª questão quando a base está elevada a um expoente, temos:

log(x²-4)-(1/2)log(x²-4) = 1/2 ----veja que mloga = loga^m. Assim:

..3.....................3

log(x²-4)-log(x²-4)¹/² = 1/2 ------mas veja que loga-logb = loga/b. Então:

..3.............3

log(x²-4)/(x²-4)¹/² = 1/2 -----veja: o que temos aí ao lado é a mesma coisa que:

...3

(x²-4)/(x²-4)¹/² = 3¹/² -----veja que (x²-4)/(x²-4)¹/² = (x²-4)^(¹-¹/²) = (x²-4)¹/² . Assim:

(x²-4)¹/² = 3¹/² ------elevando ambos os membros ao quadrado, vamos ficar com:

[(x²-4)¹/²]² = (3¹/²)²

(x²-4)^(²*¹/²) = 3^(²*¹/²)

(x²-4)²/² = 3²/²

(x²-4)¹ = 3¹

x²-4 = 3

x² = 3+4

x² = 7

............_

x = +-V7 <-----Pronto. Essa é a resposta da questão "b".

Se você quiser, poderá deixar a resposta apenas indicada, já que +-V7 é a mesma coisa que +-7¹/². Então a sua resposta também poderia ser: +-(7¹/²).

É isso aí.

OK?

Adjemir.