Continuidad de una función en un punto

......... √(2 - x) - √(2 + x²)

f(x) = -------------------------

...................... 5x

punto a considerar x = 2

Deben cumplirse

1) q exista el valor de la función para f(2)

2) q exista el lim f(x) cuando x→2

3) q 1) = 2) ; f(2) = lim f(x) cuando x→2

1)

......... √(2 - 2) - √(2 + 2²) ..... √(6)

f(2) = ------------------------- = - ------ (se cumple la condición)

...................... 5(2) ............... 10

2)

.... √(2 - x) - √(2 + x²)

lim ----------------------- =

............... 5x

x→2

√(2 - 2) - √(2 + 2²) .... √(6)

------------------------ = - ----- (se cumple la condición)

.............5(2) ............... 10

3) 1) = 2) -------> -√(6) / 10 = - √(6) / 10

Rta. La función [√(2-x) - √(2+x^2)] / (5x) es contínua para x = 2

*****

         √(2 - x) - √(2 + x²)

f(x) = -------------------------

                         5x

Hallamos el Dominio de esta función

 √(x - 2) ===> x - 2 ≥ 0 ===> x ≥ 2 ===> x ∈ [ 2 , + ∞ )

√(2 + x²) ===> 2 + x² ≥ 0 ===> x ∈ ℝ

5x ≠ 0 ===> x ≠ 0 ===> x ∈ ℝ - {0}

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Dominio f(x) : x ∈ [ 2 , + ∞ ) ∩ R - {0} ===> x ∈ [ 2 , + ∞ )

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Punto 1) Se analiza si la función f(x) en el punto x = 2 , tiene imagen

          √(2 - 2) - √(2 + 2²)       0 - √6       √6

f(2) = ------------------------- = ---------- = - -----  ◄== La función tiene imagen en -(√6)/10

                   5*2                       10           10

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Punto 2) Comprobamos si existe limite en este punto 2

2⁺ --> se comprueba si hay limite en 2 por la derecha ya que por la izquierda se sale de su dominio

                        √(2 - x) - √(2 + x²)     √(2 - 2) - √(2 + 2²)       √6

lim f(x) = lim   ------------------------- = ------------------------ = - ----- ◄== La funcion , SI , tiene limite en 2⁺

x->2⁺      x->2⁺              5x                          5*2                    10

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3) Ahora solo queda comprobar si este limite es igual a la imagen

Si comprobamos mas arriba se ve que tanto la imagen como el limite en este punto son iguales . ** - (√6)/10 **

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Por lo tanto se puede decir que la función f(x) es continua en el punto 2 (por la derecha ) <== RESPUESTA

Fzkxyox