¿con qué método?

No se puede resolver algebraicamente.

Hay que usar alguno de los métodos numéricos ó gráficos.

Supongamos Newton-Raphson

y = e^(-x) - x

y' = -e^(-x) - 1

xn+1 = xn - (y/y')

xn+1 = xn - ((e^(-xn) - xn)/(-e^(-xn) - 1))

multiplicamos abajo y arriba por e^(xn)

xn+1 = xn - (1 - xn e^(xn))/(-1 - e^(xn))

Sacamos el menos

xn+1 = xn + ( (1 - xn e^(xn))/(1 + e^(xn)) )

xn+1 = (xn + xn e^(xn) + 1 - xn e^(xn))/(1 + e^(xn)) )

xn+1 = ((xn) + 1 )/ (1 + e^(xn) )

*****************************

Con ayuda de Excel y con 8 decimales

xo = 0

x1 = (0 + 1)/(1 + e^(0)) = 1/(1+1) = 0.5

x2 = (0.5 + 1 )/(1 + e^(0.5)) = 0.566311

x3 = (0.566311 + 1)/(1 + e^(0.566311)) = 0.56714317

x4 = (0.56714317 + 1)/(1 + e^(0.56714317)) = 0.56714329

x5 = (0.56714329 + 1)/(1 + e^(0.56714329)) = 0.56714329

...

En 4 interaciones

con 8 decimales

x = 0.56714329

que es solución de

e^(-x) - x = 0

Saludos

.