Comment résoudre cette énigme mathématiques?

May 2021 8 40 Report

Comment résoudre cette énigme mathématiques?

Bonjour, je souhaite résoudre ce problème, mais je ne sais pas comment m' en sortir.

Je tiens à préciser que ce n'est pas un devoir. J'ai passé l' âge.

Énoncé :

"Combien une armée compte-t-elle de soldats, si rangés en colonnes de 3 soldats, il en reste 2, si rangés en colonnes de 5 soldats, il en reste 3 et si rangés en colonnes de 7 soldats, il en reste 2 ?"

Merci pour votre aide !

Sciences et mathématiques / Mathématiques

Dragon.Jade

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Bonsoir,

Évidemment 23 est une solution du problème. Et si nous recherchions TOUTES les solutions?

Soit x le nombre de soldats de l'armée, le problème s'énonce:

Il existe (m; q; p) dans IN³ tel que:

{ x = 3m + 2

{ x = 5q + 3

{ x = 7p + 2

De là, on déduit les relations:

● 3m + 2 = 7p + 2

3m = 7p = x - 2

Comme 3 et 7 sont premiers, m doit être un multiple de 7 et p un multiple de 3.

(x-2) est par conséquent un multiple de 21.

● 5q + 1 = x - 2

(x-2) est donc un entier qui se termine par 1 ou 6 (donc x se termine par 3 ou 8).

● Comme 21 se termine par le chiffre 1, la seule manière d'obtenir 1 ou 6 pour unités est de multiplier 21 par un entier se terminant lui-même par 1 ou 6.

La suite entière U(n) des multiples de 21 qui se terminent par 1 ou 6 sont donc les U(n) vérifiant:

Pour tout n de IN,

U(n) = 21(5n + 1)

Soit U(0)=21; U(1)=126; U(2)=231; etc...

Cette suite est bien entendue infinie.

Et le nombre possible de soldats dans notre armée seront donc:

U(0) + 2 = 23

U(1) + 2 = 128

U(2) + 2 = 233

Etc...

Méthodiquement,

Dragon.Jade :-)