¿Calcular imagen de esta funcion?
Hola, estoy complicado con un problema...
Necesito que me expliquen como calcular la imagen de esta funcion. Todo lo demas (dominio ,raices,etc) ya lo se, incluso mediante un graficador online tambien se cual es la imagen, pero no se como calcularla. Ya intente de todo, tambien sabiendo que si tengo f(x)... el dom de f^-1(x) es la imagen de f(x) pero se me hizo imposible calcular f^-1(x) xD
La funcion es:
(x^4) / ((x^2)+x-6) --->(Aclaro) x^4 dividido polinomio de grado 2 xD
Espero puedan ayudarme ya me volví loco con ese problema..
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Hola
La función equivale a
y = x^4/((x + 3)(x - 2))
Para x tendiendo a infinito
y tiende a
y -> x^4/x^2 = x^2
Tenemos que
y -> +inf para
x -> -inf ; x -> +inf
x^4 siempre es no negativa en todos lados
((x + 3)(x - 2))
es positiva en
(-inf,-3) U (+2,+inf)
así que tenemos un mínimo
en cada uno de los dos intervalos
x1min en (-inf,-3)
x2min (+2,+inf)
((x + 3)(x - 2))
es negativa en
(-3 , +2)
así que la función es siempre no positiva en
(-3 , +2)
con máximo 0 en x = 0
Cerca de x = 0 la función se comporta como
y = x^4/(-6) = (-1/6) x^4
es decir, una parábola cuártica
con las 3 derivadas primeras nulas en x = 0
Del lado negativo,
la función toma todos los valores inclusive 0
Del lado positivo
debemos encontrar el menor valor de la función
para x = x1min ; x = x2min
ya que ese menor valor es una cota inferior
de la parte positiva de la función.
Para averiguar los mínimos
usamos derivada logarítmica
y = x^4/((x + 3)(x - 2))
ln(y) = 4 ln(x) - ln(x + 3) - ln(x - 2)
y'/y = (4/x) - (1/(x+ 3)) - (1/(x - 2))
La ecuación
y'/y = (4/x) - (1/(x+ 3)) - (1/(x - 2)) = 0
sirve para los extremos
x1min, x2min
pero no para x = 0 ya que se anulan y ; y'
y'/y = (4 (x + 3) (x - 2) - (x(x- 2)) - (x (x + 3)))/ (x (x+ 3)(x - 2)) = 0
y' = 0 para la anulación del numerador
4 (x + 3) (x - 2) - (x(x- 2)) - (x (x + 3)) = 0
4 x^2 + 4 x - 24 - x^2 + 2 x - x^2 - 3 x = 0
2 x^2 + 3 x - 24 = 0
x1min;x2min = { -(b) ± √[(b)² - 4(a)(c)] }/(2(a))
x1min;x2min = { -(3) ± √[(3)² - 4(2)(-24)] }/(2(2))
x1min;x2min = { -3 ± √[9 + 192] }/(4)
x1min;x2min = (-3 ± √[201] )/4
**************
Con 4 decimales
x1min en (-inf,-3)
x1min = (-3 - √201 )/4 = -4.2944
y1min = 41.7433
x2min (+2,+inf)
x2min = (-3 + √201 )/4 = 2.7944
y2min = 13.2466
El mínimo valor entre los dos mínimos relativos es
y2min = 13.2466
Este valor es un mínimo
para la parte positiva de la función
La imagen de la función es
(-inf , 0] U (+13.2466 , +inf)
************
Saludos