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Hola

Enfoque geométrico

Distancia del plano

A x + B y + C z + D = 0

al origen

Dist = D / √(A^2 + B^2 + C^2)

Distancia del plano al origen

(altura de pirámide triangular)

H = 1/√((1/2)^2 + (1/3)^2 + (1/4)^2)

H = 1/√((1/4) + (1/9) + (1/16))

H = 1/√((36/144) + (16/144) + (9/144))

H = 1/( (1/12) √61 )

H = 12/√61

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Cortes con los ejes

(2,0,0) (0,3,0) (0,0,4)

Lados de la base de la pirámide

Lado sobre plano xy

L1 = √((2)^2 + (3)^2)

L1 = √((4) + (9))

L1 = √13

Lado sobre plano xz

L2 = √((2)^2 + (4)^2)

L2 = √((4) + (16))

L2 = √20

L2 = 2√5

Lado sobre plano yz

L3 = √((3)^2 + (4)^2)

L3 = √((9) + (16))

L3 = √25

L3 = 5

Área de la base

Fórmula de Herón

2 p = L1 + L2 + L3

2 p = √13 + 2 √5 + 5

p = (1/2) √13 + √5 + (5/2)

p - L1 = (1/2) √13 + √5 + (5/2) - √13

p - L1 = -(1/2) √13 + √5 + (5/2)

p (p - L1) = (√5 + (5/2) )^2 - ((1/2) √13)^2

p (p - L1) = 5 + 5 √5 + (25/4) - (13/4)

p (p - L1) = 5 + 5 √5 + (12/4)

p (p - L1) = 8 + 5 √5

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p - L2 = (1/2) √13 + √5 + (5/2) - 2√5

p - L2 = (1/2) √13 - √5 + (5/2)

p - L3 = (1/2) √13 + √5 + (5/2) - 5

p - L3 = (1/2) √13 + √5 - (5/2)

(p - L2) (p - L3) = ( (1/2) √13 )^2 - (√5 - (5/2))^2

(p - L2) (p - L3) = (13/4) - (5 - 5 √5 + (25/4))

(p - L2) (p - L3) = (13/4) - 5 + 5 √5 - (25/4)

(p - L2) (p - L3) = -5 + 5 √5 - (12/4)

(p - L2) (p - L3) = 5 √5 - 5 - 3

(p - L2) (p - L3) = 5 √5 - 8

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p (p - L1) (p - L2) (p - L3) = (8 + 5 √5) (-8 + 5 √5)

p (p - L1) (p - L2) (p - L3) = -8^2 + (5 √5)^2

p (p - L1) (p - L2) (p - L3) = -64 + 125

p (p - L1) (p - L2) (p - L3) = 61

Área_base = √[p (p - L1) (p - L2) (p - L3)]

Área_base = √61

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Volumen = (1/3) * Área_base * Altura

Volumen = (1/3) * (61) * (12/√61)

Volumen = 12/3

Volumen = 4

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