¿Calcula la diferencia entre el perímetro de ambos pentágonos?
El gráfico es un pentágono inscrito en otro. Cada lado del pentágono interior mide 10cm. Y la distancia entre ambos es de 2 cm. ¿cual es el perímetro del pentágono exterior? El tema que veo es sobre las razones trigonométricas.
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Answers & Comments
Hola
Podemos dividir un polígono regular
por medio de n triángulos isósceles
de ángulo 360º/n.
Este triángulo se puede dividir
en 2 triángulos rectángulos de ángulo 180º/n
que nos permiten calcular los lados y apotemas.
Para el polígono inscripto interior
Lado
Li = 2 r sen(180º/n)
Apotema
Api = r cos(180º/n)
Para el polígono circunscripto exterior
Lado
Le = 2 r tan(180º/n)
Apotema
Ape = r
Observamos que se mantiene la proporción
Li/Api = Le/Ape = 2 tan(180º/n)
La distancia entre lados es la diferencia de apotemas
Dist = Ape - Api
Dist = r (1 - cos(180º/n))
n = 5
r = 2 /(1 - cos(36º)
r = 10.47 cm
*****************
Entonces
Le = 2 r tan(180º/n)
Le = 2*10.47 * tan(36º) = 15.21 cm
Perímetro externo
5 * Le = 76.07 cm
Perímetro interno
5 * 10 cm = 50 cm
Diferencia : 26.07 cm