Hola

B no tiene partes comunes ni con A ni con C

ya que sus intersecciones son vacías

1.Si A ∼ C, entonces A ∪ B ∼ C ∪ B

Si A ∼ C

existe una correspondencia biunívoca

ax <-> cx

para cualquier ax de A y cualquier cx de C

Como A y B son disjuntos,

así como son disjuntos C y B

podemos construir la siguiente correspondencia biunívoca

Para todo

ux ∈ A ∪ B

ux debe ser de A ó de B

Si ux es de A usamos la correspondencia

ax <-> cx

Si ux es de B usamos la correspondencia

bx <-> bx

es decir, la correspondencia identidad dentro de B

Es fácil ver que esta correspondencia es biunívoca

porque para elementos ux, vx

ux ∈ A ∪ B

vx ∈ C ∪ B

podemos diferenciar sólo 2 condiciones

Si ux ∈ A ó vx ∈ C usamos la correspondencia

ux <-> vx entre A y C

Si ux ∈ B ó vx ∈ B usamos la correspondencia unidad

ux <-> vx con ux = vx

2, Si A y B son finitos, entonces A ∪ B tambien es finito y ademas lA ∪ Bl = lAl + lBl

Hemos dicho que A y B son disjuntos

Si A es finito de cardinal |A|

podemos construir una correspondencia biunívoca

entre los elementos de A

y el conjunto de naturales

(1 , 2 , 3, ... , |A|)

Si B es finito de cardinal |B|

podemos construir una correspondencia biunívoca

entre los elementos de B

y el conjunto de naturales

(1 , 2 , 3, ... , |B|)

Si A y B son disjuntos (ningún elemento en común entre sí)

podemos construir una correspondencia biunívoca

entre los elementos de A U B

y el conjunto de naturales

(1 , 2 , 3, ... , |A| , |A| + 1 , |A| + 2 , |A| + 3, ... , |A| + |B|)

desplazando en |A| a los naturales de

(1 , 2 , 3, ... , |B|)

Concluimos que

lA ∪ Bl = lAl + lBl

y, por lo tanto, lA ∪ Bl es finito.

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