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Hola

La curva parametrizada es una cosinusoide desplazada

con período T = 4

No proporcionas los límites de integración de t

así que suponemos t entre 0 y 2 (la mitad del ciclo)

Para la curva paramétrica

x = t

y = 2 cos((pi/2) t) + 2

Diferenciales

dx = dt

dy = -2 (pi/2) sen((pi/2) t) dt

dy = -pi sen((pi/2) t) dt

Componentes de F según la curva dada

Fx = 3 x^2 - 3 x y

Fx = 3 t^2 - 3 t (2 cos((pi/2) t) + 2)

Fx = 3 t^2 - 6 t + 6 cos((pi/2) t)

Fy = -6 x y + 3 y^2

Fy = -6 t (2 cos((pi/2) t) + 2) + 3 (2 cos((pi/2) t) + 2)^2

Fy = -12 t - 12 t cos((pi/2) t) +

+ 3 (4 cos^2((pi/2) t) + 8 cos((pi/2) t) + 4)

Fy = -12 t - 12 t cos((pi/2) t) +

+ 12 cos^2((pi/2) t) + 24 cos((pi/2) t) + 12

Fy = -12 t + 12 + 12 cos^2((pi/2) t) + 12 cos((pi/2) t)

usamos la fórmula de coseno doble

cos(2u) = 2 cos^2(u) - 1

cos^2(u) = (1/2) + (1/2) cos(2u)

cos^2((pi/2) t) = (1/2) + (1/2) cos(2(pi/2) t)

queda

Fy = -12 t + 12 + 6 + 6 cos((pi) t) + 12 cos((pi/2) t)

Fy = -12 t + 18 + 6 cos((pi) t) + 12 cos((pi/2) t)

Ahora, la integral de línea

I = ∮ F . dr = ∮( <Fx , Fy> . <dx , dy>)

I = ∫ Fx dx + Fy dy

En forma explícita

I = ∫[t_de_0_a_2] { (3 t^2 - 6 t + 6 cos((pi/2) t)) dt +

+ (-12 t + 18 + 6 cos((pi) t) + 12 cos((pi/2) t)) -pi sen((pi/2) t) dt}

No dudo que puedes seguir a partir de este punto.