Hola.

Primero lo primero

Los determinantes de matrices similares A,B

es decir que existe una matriz M que cumple

A = M^-1 * B * M

son iguales

Recordamos

que el determinante es distributivo

con respecto al producto matricial.

Entonces

Det(A) = Det(M^-1 * B * M)

Por la distributividad

Det(A) = Det(M^-1) . Det(B) . Det(M)

Por conmutatividad del producto de reales

Det(A) = Det(M^-1) . Det(M) . Det(B)

Por definición de inversa

M^-1 * M = I

Det(M^-1) . Det(M) = 1

Así que queda

Det(A) = 1 . Det(B)

Det(A) = Det(B)

=============

1)

Debemos demostrar

Det(A - λ In) = Det(B - λ In)

donde

In es la matriz cuadrada de orden n

cuando

A = M^-1 * B * M

Presentamos

M^-1 * (B - λ In) * M

Distribuimos el producto matricial con la suma/diferencia

(M^-1 * B * M) - (M^-1 * (λ In) * M)

Por conmutatividad del producto de reales con matrices

(M^-1 * B * M) - λ (M^-1 * In * M)

Por definición de matriz unidad In

M^-1 * In = M^-1

(M^-1 * B * M) - λ (M^-1 * M)

Por definición de matriz inversa M^-1

(M^-1 * B * M) - λ In

Por el dato dado inicialmente

A - λ In

Concluímos que

A - λ In = M^-1 * (B - λ In) * M

es decir,

si A ; B son similares

A - λ In ; B - λ In TAMBIÉN son similares.

Entonces, se cumple

Det(A - λ In) = Det(B - λ In)

************

2)

Debemos demostrar

A es invertible si y solo si B es invertible

Ahora sabemos que existe una matriz M que cumple

A = M^-1 * B * M

Hemos demostrado que

Det(A) = Det(B)

Esto nos dice que

Si B es invertible

el determinante de B no es nulo

entonces, el determinante de A (igual al de B)

NO es nulo,

entonces A es invertible

Si A es invertible

el determinante de A no es nulo

entonces, el determinante de B (igual al de A)

NO es nulo,

entonces B es invertible

q.e.d.

Saludos

Nada