¿GEOMETRÍA hola me podrían ayudar con un pequeño problema?
un cilindro y un cono tienen la misma altura h, la misma área total y el mismo volumen. calcular los radios de las bases de los dos sólidos en términos de altura "h".
muchas gracias
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Hola
R : Radio base cilindro
r : Radio base cono
Vcil = pi R^2 H
Vcon = (1/3) pi r^2 H
mismo volumen
R^2 = r^2 / 3
r^2 = 3 R^2
r = √3 R
**************
Area_cir = 2 pi R^2 + 2 pi R H
Area_con = pi r^2 + pi r gen
Area_con = pi r^2 + pi r √(r^2 + H^2)
Si son iguales las áreas
2 pi R^2 + 2 pi R H = pi r^2 + pi r √(r^2 + H^2)
recordamos que
r = √3 R
2 pi R^2 + 2 pi R H = pi 3 R^2 + pi √3 R √(3 R^2 + H^2)
simplificamos pi R
2 R + 2 H = 3 R + √3 √(3 R^2 + H^2)
√(9 R^2 + 3 H^2) = 2 R + 2 H - 3 R
√(9 R^2 + 3 H^2) = 2 H - R
Notemos que debe ser
2 H - R > 0
ó
R < 2 H
R/H < 2
Elevamos al cuadrado
9 R^2 + 3 H^2 = 4 H^2 - 4 H R + R^2
8 R^2 + 4 R H - H^2 = 0
Dividimos por 8 H^2
para llevar a una variable normalizada
x = R/H
(R/H)^2 + (1/2) (R/H) - (1/8) = 0
(R/H)^2 + 2 * (1/4) (R/H) = (1/8)
(R/H)^2 + 2 * (1/4) (R/H) + (1/16) = (1/16) + (1/8) = 3/16
( (R/H) + (1/4))^2 = 3/16 = (√3 / 4)^2
Descartamos la solución negativa
R/H = (√3 - 1)/4
Radio del cilindro
R = (1/4) (√3 - 1) H
************************
Radio del cono
r = √3 R
r = (1/4) (3 - √3) H
***********************
Verificado con Excel
Saludos
No voy a hacer tu tarea mientras vos te rascas