最近看到一個句子：
The teachers are keen on the students taking part in the spelling bee.
這裡的taking動名詞如何解釋？是子句省略來的分詞片語？還是說像I don't mind you/your smoking here類似的說法，和the students' taking part in... 所有格一樣的解釋？
此提問是想釐清一些觀念，再麻煩知道的人提點，萬分感謝！
Update:LionEnglish，謝謝解答。
會有關代的分析是因為看到be keen on的用法，如Cambridge dictionary中最後一個例句（https://dictionary.cambridge.org/dictionary/englis...
He's rather keen on a girl in his school (= he is very attracted to her).
這裡的in his school是說明a girl，所以回到原問題the teachers...taking part in the activities，是否有關代簡化後的可能？
這也讓我思考簡化前的子句型態who take及who are taking（顯然兩者意思不一樣），進而想到求學時老師什麼也沒解釋就說將兩種都可以簡化成「分詞片語」。
Update 3:看到這句子時，直覺覺得這需要靠語境才能知道作者真正的語意，因就單句來看，會因文法的變化而有許多種可能的解釋，在此提出討論。
Update 5:謝謝LionEnglish的補充回答，先聲明我沒有質疑你的的回答，只是自己看待語言蠻重視語境的存在，文法只是其次來幫助解釋語意，所以單就一個句子，自然會聯想到各種不同的情境。
除了一些邏輯上不可能且天馬行空的情境，只要是人，性格就會有百百種，進而會有各種行為。過去不管是國內還國外，有很多老師與學生非適當的關係存在，甚至前幾周還有教官跟學生的新聞，這些大眾認為「異常」的現象，都是讓句子語意發展無限可能的來源。如果今天一個新聞報導，假設是某校老師有某種癖好，特別喜歡背單字、參加單字競賽的學生，這種癖好也不是不可能，我想在這情境下，這子句簡化分詞的說法就沒問題了。
有時候會想說，是不是大部分人在看待句子時（尤其是這種沒上下文的）已經有預設的解釋，所以常一面倒偏向某個答案，而沒有把所有可能的意思想過一遍。台灣英語文教育其中一個缺點就是常用一個句子加四個選項考學生，而同一個句子在不同情境下的使用都可能會視為正確，但老師常常丟一句，答案給的選項比較好並否定學生，卻沒解惑到學生所想的思路，變相扼殺學生學習語言的熱誠與想像力。
不管怎樣，謝謝你的回答！
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The teachers are keen on the students taking part in the spelling bee.
= The teachers are keen on the students' taking part in the spelling bee.
老師們對於學生們參加拼字比賽（這件事）挺熱衷的。
這裡老師們熱衷的不是學生本身，而是學生參加拼字比賽這件事，所以 keen on 意思上的受詞是動名詞片語 taking part in，而不是 students。students' 只不過是限定語，表示是「學生們的參加」這件事。
在比較正式或嚴肅一點的說法，動名詞前面是用所有格的，但是普通口語或日常一點的說法，會把所有格直接用受格，特別是在及物動詞或介係詞後面，原本就會接受詞，這種情況下使用受格好像很自然，所以就會有下面這種兩句都可以的情況：
Do you mind my smoking?
--> Do you mind me smoking?
兩句意思一樣，只是 mind me smoking 比較隨便一些。
原句與關係代名詞 who 毫無關係。因為熱衷的不是學生本身，所以不會再有 who 的形容詞子句來形容是怎樣的學生，當然也不會是省略了 who are。
（補充部分一:）
keen on 某人是喜愛某人，指被某人深深吸引，起了愛念。keen on 某事是對某事很有興趣，很熱衷。
如你所說 keen on a girl 是 （he is very attracted to her），他對學校裡的一位女生很動心。
如果原句意思是 The teachers are keen on the students，難道是「老師們認為學生們嫵媚動人，讓老師動了心？」而且還是專指對「(who are) taking part in the spelling bee 參加拼字比賽的學生們」讓老師覺得很吸引人。
從你的討論看，你的英文是有底子的，可以聯想到各方面英語語法的重點。但語言追根究柢還是離不了語意。假如硬從語法去分析，把 the students 當 keen on 的受詞，再把 who 子句簡化成分詞片語修飾 students，那意思上就太勉強了！
（補充二：）
the students 的 the 指的是這些老師們的學生或是該校的學生，區別於天下所有的學生。與 the students who 關係代名詞的先行詞加限定 the 無關。
To Oliver:-
One drawback in TW Exam.is the common use of a sentence plus the 4 options ABCD to test the students, when the teacher demands the option is better and denies the students to think of other option ideas "in different situation" might be considered correct !