Hubieras prestado atención a la clase.

Hola

y' + (1/x) y = -2 x^2 y^4

Ecuación diferencial de Bernoulli

Sustituimos

u = y^(1 - 4) = y^-3

y = u^(-1/3)

y' = -(1/3) u^(-4/3) u'

queda

-(1/3) u^(-4/3) u' + (1/x) u^(-1/3) = -2 x^2 u^(-4/3)

multiplicamos para simplificar por

-3 u^(4/3)

u' - 3 (1/x) u = - 2 x^2

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Solución ecuación homogenea

u' - 3 (1/x) u = 0

du/dx = 3 (1/x) u

(du/u) - 3 (dx/x) = 0

ln(u) - 3 ln(x) = K1

u/x^3 = e^(K1) = K2

uh = K2 x^3

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solución ecuación particular

up = a x^3 + b x^2 + c x + d

up' = 3 a x^2 + 2 b x + c

up' - 3 (1/x) up = -2 x^2

3 a x^2 + 2 b x + c - 3 (a x^2 + b x + c + (d/x)) = - 2 x^2

Identidad polinómica

Componente 1/x

d = 0

Componente independiente

c - 3 c = 0

c = 0

Componente lineal

2 b - 3 b = 0

b = 0

componente x^2

3 a - 3 a = 0

0 = 0

La formulación normal de la solución particular no funciona

ya que

up' - 3(1/x) up

anula cualquier término cuadrático derivado de x^3

contenido en up

Esto es debido a la solución homogenea y = x^3

Debido al carácter singular de la ecuación diferencial

con el coeficiente -3/x

el método normal de la solución particular

que nos indica probar

yp = x^4(a x^3 + b x^2 + c x + d)

no da el resultado esperado...

SI usamos el método de variación de parámetros

y planteamos

yp = C1(x) x^3

llegamos a

C1(x) = -2 ln(x)

con lo que

yp = -2 x^3 ln(x)

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En total, la solución es

y = yh + yp

y = C x^3 - 2 x^3 ln(x)

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Saludos

y prima mas y sobre x igual a menos dos x cuadrado y a la cuarta