Note : (1) If A+B = 90°, then : tan B = tan ( 90° - A ) = cot A.
. . . . .( 2) tan Φ cot Φ = ( tan Φ )( 1 / tan Φ ) = 1.
______________________________________________
... LHS
= tan 1° tan2² ... tan 44° tan 45° tan 46° ... tan 88° tan 89°
= ( tan 1° tan 89° )( tan 2° tan 88° ) ... ( tan 44° tan 46° )( tan 45° )
= ( tan 1° cot 1° )( tan 2° cot 2° ) ... ( tan 44° cot 44° )( 1 )
= ( 1 )( 1 ) ... ( 1 )( 1 )
= 1
= RHS .............................. Q.E.D.
______________________________
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tan 1º . tan 2º . tan 3º . . . . . . . . . tan 87º . tan 88º . tan 89º =
sin 1º . .sin 2º . . sin 3º . . . . . . . . . . .sin 87º . . sin 88º . . sin 89
-------- . --------- . --------- . . . . . . . . .---------- . ----------- . ,---------- =
cos 1º . cos 2º . cos 3º . . . . . . . . . . .cos 87º . .cos 88º . cos89º
. sin 1º . . . sin 2º . . .sin 3º . . . . . . . . . . . sin 87º . . sin 88º . . sin 89
----------- . ---------- . ----------- . . . . . . . . ---------- . ----------- . .---------- =
cos 89º . . cos 88º . cos 87º . . . . . . . . . . .cos 3º . . .cos 2º . . .cos1º
1 . 1 . 1 . . . . . . . . . . 1 . 1 . 1 = 1
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Note : (1) If A+B = 90°, then : tan B = tan ( 90° - A ) = cot A.
. . . . .( 2) tan Φ cot Φ = ( tan Φ )( 1 / tan Φ ) = 1.
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... LHS
= tan 1° tan2² ... tan 44° tan 45° tan 46° ... tan 88° tan 89°
= ( tan 1° tan 89° )( tan 2° tan 88° ) ... ( tan 44° tan 46° )( tan 45° )
= ( tan 1° cot 1° )( tan 2° cot 2° ) ... ( tan 44° cot 44° )( 1 )
= ( 1 )( 1 ) ... ( 1 )( 1 )
= 1
= RHS .............................. Q.E.D.
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tan 1º . tan 2º . tan 3º . . . . . . . . . tan 87º . tan 88º . tan 89º =
sin 1º . .sin 2º . . sin 3º . . . . . . . . . . .sin 87º . . sin 88º . . sin 89
-------- . --------- . --------- . . . . . . . . .---------- . ----------- . ,---------- =
cos 1º . cos 2º . cos 3º . . . . . . . . . . .cos 87º . .cos 88º . cos89º
. sin 1º . . . sin 2º . . .sin 3º . . . . . . . . . . . sin 87º . . sin 88º . . sin 89
----------- . ---------- . ----------- . . . . . . . . ---------- . ----------- . .---------- =
cos 89º . . cos 88º . cos 87º . . . . . . . . . . .cos 3º . . .cos 2º . . .cos1º
1 . 1 . 1 . . . . . . . . . . 1 . 1 . 1 = 1