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int(4/(sqrt(x)*(x+6)), x = 0 .. ∞ ) = (2/3)*π*sqrt(6)

» Sea :

b→ ∞

» Entonces:

.... .b

I = ∫ 4 / [ (√x) (x+6) ] dx

.. ..0

» Encontrando la anti-derivada de I :

I * = ∫ 4 / [ (√x) (x+6) ] dx

» Sabemos :

d ( √x ) . . . 1

---------- = -----

.. d x . . . 2√x

dx

---- = 2 d ( √x )

√x

» Reemplazando :

I * = 4 ∫ {1 / [ (√x)² + 6 ] } * 2 d ( √x )

I * = 8 ∫ 1 / [ (√x)² + 6 ] d (√x)

Esta es una integral inmediata:

I * = (8 / √6 ) arctan [(√ x / 6 )] + C

» Volviendo a la integral definida :

. . . . . b

I = I * |

. . . . . 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b

I = (8 / √6 ) arctan [(√ x / 6 )] + C |

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 0

» Evaluando :

I =(8 / √6 ) { Lim arctan [(√ b / 6 )] - arctan [(√0/ 6 ) }

. . . . . . . . . . b→ ∞

I = (8 / √6 ) [ ½ π - 0 ]

» Racionalizando :

I = (2 / 3) √6 π ««« RPTA

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.¡Saludos desde Lima!

. . . ***** Levizuf *****

Hint:

u = √x