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... sin⁸ α + cos⁸ α

= ( sin⁴ α + cos⁴ α )² - 2 sin⁴ α cos⁴ α

= [ ( sin² α + cos² α )² - 2 sin² α cos² α ]² - 2 sin⁴ α cos⁴ α

= ( 1 - 2 sin² α cos² α )² - 2 sin⁴ α cos⁴ α

= 1 - 4 sin² α cos² α + 4 sin4 α cos4 α ) - 2 sin⁴ α cos⁴ α

= 1 - 4 sin² α cos² α + 2 sin⁴ α cos⁴ α

= 2 ( sin⁴ α cos⁴ α - 2 sin² α cos² α + 1 ) - 1

= 2 ( sin² α cos² α - 1 )² - 1

If : sin⁸ α + cos⁸ α ≥ 1/8,

then : 2 ( sin² α cos² α - 1 )² - 1 ≥ 1/8

∴ 2 ( sin² α cos² α - 1 )² ≥ 9/8

∴ ( sin² α cos² α - 1 )² ≥ 9/16

∴ sin² α cos² α -1 ≤ (-3/4) ... or ... sin² α cos² α - 1 ≥ (3/4)

∴ sin² α cos² α ≤ (1/4) ......... or ... sin² α cos² α ≥ 7/4

∴ (-1/2) ≤ sin α cos α ≤ (1/2) ... or ... sin α cos α ≤ (-√7 /2) or sin α cos α ≥ (√7 /2)

∴ -1 ≤ ( 2 sin α cos α ) ≤ 1

∴ -1 ≤ ( sin 2α ) ≤ 1, which is true ∀α ∈ ℝ.

... Hence, the result.

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isn't this a circle?