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Simply using 「どういたしまして。私の両親は元気です。ありがとうございます」 will work just fine. "You're welcome" has a kanji, like you've noticed, but it's not frequently used.

Hope this helps!

Yes, it's fine, but it is better to use 'います' instead of 'いる', because it fits for 'ございました'.

どう致しまして。私の両親は元気にやって'います'。ありがとうございました。

I hope it helps :)